Умножение скобки на скобку правило. Как раскрыть скобки
Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что называется раскрытием скобок?
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.
Определение 1
Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:
- знаки « + » или « - » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
- произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.
Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.
Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.
Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a - x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) .
Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Правила раскрытия скобок, примеры
Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.
У одиночных чисел в скобках
Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.
Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, - (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5) заменяется на − 5 .
Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.
Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .
Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .
Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.
Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.
Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) - это разность a − b .
Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.
К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .
В произведениях двух чисел
Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел - 4 3 5 и - 2 , вида (- 2) · - 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .
А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2
На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.
Раскроем скобки в выражении - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = - 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .
Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = - sin (x) · x 2
В произведениях трех и большего количества чисел
Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.
Пример 2
Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .
В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .
Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и - 1 или - 1 заменяем на (− 1) · a .
Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.
Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 выглядела бы следующим образом:
2 3: (- 2) · 4: - 6 7 = - 2 3 · - 1 2 · 4 · - 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6
Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +
Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.
Пример 3
Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .
Пример 4
Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Вот еще один пример раскрытия скобок:
Пример 5
2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 - 1 + x + x 2
Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус
Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « - », скобки со знаком « - » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
Пример 6
К примеру:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:
X + x 3 - 3 - - 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 ,
получаем x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.
Пример 7
Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .
Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 - x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 - 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .
Умножение скобки на скобку
Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.
Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2
Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.
Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.
Формула будет иметь вид:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6
Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .
В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .
Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .
Скобка в натуральной степени
Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.
Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .
Разберем еще один пример:
Пример 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2
Деление скобки на число и скобки на скобку
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Вот еще один пример деления на скобку:
Пример 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .
Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок выполнения действий:
- первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
- на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
- заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .
Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
А+(b + с) можно записать без скобок: a+(b + c)=a + b + c. Эту операцию называют раскрытием скобок.
Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + (- b + c).
Решение. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Если перед скобками стоит знак « + » то можно опустить скобки и этот знак « + » сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком « + ».
Пример 2. Найдем значение выражения -2,87+ (2,87-7,639).
Решение.
Раскрывая скобки, получим - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 =0 - 7,639 = - 7,639.
Чтобы найти значение выражения - (- 9 + 5), надо сложить числа -9 и 5 и найти число, противоположное полученной сумме: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
То же значение можно получить по-другому: вначале записать числа, противоположные данным слагаемым (т. е. изменить их знаки), а потом сложить: 9 + (- 5) = 4. Таким образом, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.
Значит, - (а + b) = - а - b.
Пример 3. Найдем значение выражения 16 - (10 -18 + 12).
Решение.
16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на « + », поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
Пример 4. Найдем значение выражения 9,36-(9,36 - 5,48).
Решение.
9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Раскрытие скобок и применение переместительного и сочетательного свойств сложения позволяют упрощать вычисления.
Пример 5. Найдем значение выражения (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Решение. Сначала раскроем скобки, а потом найдем отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и, наконец, сложим полученные результаты:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Пример 6. Найдем значение выражения
Решение. Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей, затем раскроем скобки, потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и, наконец, сложим полученные результаты:
Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак « + »? Как можно найти значение выражения, противоположное сумме нескольких чисел? Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « - »?
1218. Раскройте скобки:
а) 3,4+(2,6+ 8,3); в) m+(n-k);
б) 4,57+(2,6 - 4,57); г) с+(-a + b).
1219. Найдите значение выражения:
1220. Раскройте скобки:
а) 85+(7,8+ 98); г) -(80-16) + 84; ж) a-(b-k-n);
б) (4,7 -17)+7,5; д) -а + (m-2,6); з) -(а-b + с);
в) 64-(90 + 100); е) с+(- а-b); и) (m-n)-(p-k).
1221. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
1222. Упростите выражение:
1223. Напишите сумму
двух выражений и упростите ее:
а) - 4 - m и m + 6,4; г) а+b и р - b
б) 1,1+а и -26-а; д) - m + n и -k - n;
в) а + 13 и -13 + b; е)m - n и n - m.
1224. Напишите разность двух выражений и упростите ее:
1226. Решите с помощью уравнения задачу:
а) На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой - столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки?
б) В первом классе 42 ученика, во втором на 3 ученика меньше, чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в этих трех классах 125 учеников?
1227. Найдите значение выражения:
1228. Вычислите устно:
1229. Найдите наибольшее значение выражения:
1230. Укажите 4 последовательных целых числа, если:
а) меньшее из них равно -12; в) меньшее из них равно n;
б) большее из них равно -18; г) большее из них равно k.
В данной статье мы подробно рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как раскрытие скобок. Знать правила раскрытия скобок нужно для того, чтобы верно решать уравнения, в которых они используются.
Как правильно раскрывать скобки при сложении
Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак « + »
Эта самый простой случай, ибо если перед скобками стоит знак сложения, при раскрытии скобок знаки внутри них не меняются. Пример:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « - »
В данном случае нужно переписать все слагаемые без скобок, но при этом сменить все знаки внутри них на противоположные. Знаки меняются только у слагаемых из тех скобок, перед которыми стоял знак « - ». Пример:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Как раскрыть скобки при умножении
Перед скобками стоит число-множитель
В данном случае нужно умножить каждое слагаемое на множитель и раскрыть скобки, не меняя знаков. Если множитель имеет знак « - », то при перемножении знаки слагаемых меняются на противоположные. Пример:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Как раскрыть две скобки со знаком умножения между ними
В данном случае нужно каждое слагаемое из первых скобок перемножить с каждым слагаемым из вторых скобок и затем сложить полученные результаты. Пример:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Как раскрыть скобки в квадрате
В случае, если сумма или разность двух слагаемых возведена в квадрат, скобки следует раскрывать по следующей формуле:
(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.
В случае с минусом внутри скобок формула не меняется. Пример:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Как раскрыть скобки в другой степени
Если сумма или разность слагаемых возводится, например, в 3 или 4-ю степень, то нужно просто разбить степень скобки на «квадраты». Степени одинаковых множителей складываются, а при делении из степени делимого вычитается степень делителя. Пример:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Как раскрыть 3 скобки
Бывают уравнения, в которых перемножаются сразу 3 скобки. В таком случае нужно сначала перемножить между собой слагаемые первых двух скобок, и затем сумму этого перемножения умножить на слагаемые третьей скобки. Пример:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Данные правила раскрытия скобок одинаково распространяются для решения как линейных, так и тригонометрических уравнений.
краткое содержание других презентаций«График функции 7 класс» -). 1. Построим график функции по точкам: 2. (. Примеры, приводящие к понятию функции. Умножьте одночлены: Функция График функции. 7 класс. Представьте выражения в виде одночлена стандартного вида: График функции. Зависимая переменная. Независимая переменная.
«Многочлен в алгебре» - Что называют приведением подобных членов? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3аx – 6ax + 9a2x. Ответьте на вопросы: 17a4 + 8a5 + 3a – a3. Урок алгебры в 7 классе. Устная работа. 1. Выберите многочлены, записанные в стандартном виде: 12а2b – 18ab2 – 30ab3. учитель математики МОУ «СОШ №2» Токарева Ю.И. Объясните, как привести многочлен к стандартному виду.
«Многочлены 7 класс» - 1. 6. В результате умножения многочлена на многочлен получается многочлен. 9. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. 5. 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. - + + - + + - + +. 3. Устная работа. 2.
«Сокращение алгебраических дробей» - 3. Основное свойство дроби можно записать так: , где b?0, m?0 . 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Урок по алгебре в 7 классе «Алгебраические дроби. 1. Выражение вида называют алгебраической дробью. «Путешествие в мир алгебраических дробей». Путешествие в мир алгебраических дробей. 2. В алгебраической дроби числитель и знаменатель- алгебраические выражения. «Путешествие в мир алгебраических дробей.». Сокращение дробей» Учитель Степнинской СОШ Жусупова А.Б. Достижения крупные людям Никогда не давались легко!
«Раскрытие скобок» - Раскрытие скобок. c. Математика. a. 7 класс. b. S = a · b + a · c.
«Координаты плоскости» - Прямоугольной сеткой пользовались также художники эпохи Возрождения. Содержание Краткая аннотация II. При игре в шахматы тоже используется метод координат. Заключение V. Литература VI. Ось Оу – ордината у. Целью Декарта было описание природы при помощи математических законов. С помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов. Прямоугольная система координат. Краткая аннотация. Приложение Сборник заданий. Игровом поле определялась двумя координатами- буквой и цифрой. Введение Актуальность темы.
сформировать способность к раскрытию скобок с
учетом знака, стоящего перед скобками;
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Начать урок я хочу с вопроса к вам:
Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)
Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.
Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:
Устный счет:
1.1. Какое сегодня число?
2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?
3. А где расположено это число на координатной прямой?
4. Назовите число ему обратное.
5. Назовите число ему противоположное.
6. Как называется число – 20?
7. Какие числа называются противоположными?
8. Какие числа называются отрицательными?
9. Чем равен модуль числа 20? – 20?
10. Чему равна сумма противоположных чисел?
2. Объясните следующие записи:
а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.
б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.
в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.
г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.
д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.
3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).
II. Формирование новых знаний, умений, навыков.
Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?
Давайте найдем значение данных выражений
7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0
Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?
Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4
Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)
Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)
И так мы подошли к следующему правилу:
Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.
А как быть, если перед скобками стоит знак минус?
В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить число противоположное вычитаемому:
7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14
– Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.
Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:
Перед скобкой плюс стоит.
Он о том и говорит
Что ты скобки опускай
Да все знаки выпускай!
Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу
Чтобы скобки убирать
Надо знаки поменять!
Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то есть свои знаки.
Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.
Небольшой экскурс в историю:
Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.
Физкультминутка.
III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.
Работа по учебнику:
№ 1234 (раскройте скобки) – устно.
№ 1236(раскройте скобки) – устно.
№ 1235 (найдите значение выражения) – письменно.
№ 1238 (упростите выражения) – работа в парах.
IV. Подведение итогов урока.
1. Объявляются оценки.
2. Дом. задание. п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.
3. Чему мы сегодня научились?
Что нового узнали?
И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:
“К математике способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай.
Умножай, дели, трудись, соображай,
С математикой дружить не забывай”.