Статически неопределимые задачи кручения. Статически неопределимые задачи на кручение Сопромат статически неопределимые системы кручение

Расчётная схема и эпюры

Решение

Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. . Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .

По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):

При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на и G и получим

Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .

Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения

Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении

J (5)

Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение берётся из таблицы.

Формула (5) даёт результат

J . (6)

Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому

(7)

Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)

Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем

После преобразований уравнение принимает вид

14,89 M B = 17,78.

Отсюда имеем

M B = 1,194кНм.

Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.

Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.

Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.

Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:

Отсюда имеем

Сечение 2–2

Сечение 3–3

кНм.

По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности

(8)

Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле

Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:

Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение взято из таблицы.

Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:

(9)

(10)

(11)

Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.

Допускаемое касательное напряжение

.

В отличие от рассмотренных ранее круглых стержней, кручение стержней некруглой поперечной формы обладает особенностями. Основная из них – депланация . Это явление того, что сечения перестают быть плоскими, депланируют. Формулы, основанные на гипотезе плоских сечений, теряют силу. Возникают нормальные напряжения.

Различают свободное и стеснённое кручение. Свободным называют такое кручение, при котором депланация постоянна по длине стержня и её можно характеризовать величиной перемещения в осевом направлении. Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стеснённым кручением . В этом случае возникает особый вид внутреннего усилия – бимомент, влияющий на распределение нормальных и касательных напряжений по сечению.

Стержни с некруглым поперечным сечением могут быть различны (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Стержни с некруглым поперечным сечением: а) толстостенные; б) тонкостенные замкнутого и открытого профиля

Толстостенными называют стержни, имеющие размеры различных элементов сечения соизмеримые с размерами самого сечения. Деформация толстостенных стержней имеет сложный характер, задачи о кручении таких стержней решаются аналитически или численно методами теории упругости.

Тонкостенными называют стержни, у которых длина контура поперечного сечения намного больше толщины сечения.

Расчёт тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля на стеснённое кручение изучается в теории тонкостенных стержней, разработанной проф. В.З. Власовым.

Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном.

При кручении прямоугольного поперечного сечения наибольшее напряжение возникает посредине длинной стороны контура (рис. 11.2). Для его вычисления используют формулу (11.1).

Здесь W t =αhb 2 - момент сопротивления при кручении, α – коэффициент Сен-Венана, h и b размеры прямоугольного сечения (рис. 11.2).

Угол закручивания грузового участка длиной l c постоянным внутренним усилием находится по формуле (11.2)

Здесь I t =βhb 3 - момент инерции при кручении, β – коэффициент Сен-Венана.

Эп. τ[МПа]

Рис. 11.2. Эпюра касательных напряжений

Коэффициенты Сен-Венана α, β, γ определяются с помощью таблицы 11.1 в зависимости от отношения h/b .

Таблица 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Расчёт различных некруглых поперечных сечений на прочность и жёсткость выполняется аналогично изложенному в предыдущей лекции. С помощью условий прочности и жёсткости решаются задачи с целью подбора размеров поперечного сечения, определения допустимой нагрузки и проверки выполнения условий. В зависимости от профиля поперечного сечения по разному определяются геометрические характеристики поперечного сечения, фигурирующие в формулах для вычисления напряжений и перемещений. (Посмотреть эти формулы самостоятельно по учебнику).

Решение статически неопределимых задач при кручении . Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми , если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью только одних уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня. Алгоритм решения аналогичен изложенному в теме осевое растяжение–сжатие.

В случае постоянной жёсткости стержня удобно применять для решения статически неопределимых задач метод начальных параметров (ознакомиться с этим методом самостоятельно).

Задачи могут быть несколько раз статически неопределимыми. Рассмотрим один раз статически неопределимые задачи.

Рис. 11.3. Статически неопределимые стержни при кручении

а) Раскрытие статической неопределимости

∑ m X = 0; М А - М + М В n st

Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I + φ II = 0 (2).

М t =const можно представить в виде: (3). Подставим (3) в (2): . (4)

Запишем уравнения крутящих моментов на грузовых участках, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t ,I = М В - const, М t ,II = М В - М – const. При равенстве жесткостей на грузовых участках уравнение (4) примет вид:

М В

б) Раскрытие статической неопределимости

1. Рассмотрим статическую сторону задачи

Составим уравнение равновесия:

∑ m X = 0; М А + ml – М В = 0 (1), найдем степень статической неопределимости как разницу между неизвестными опорными реакциями и количеством уравнений статики n st = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая и для раскрытия статической неопределимости требуется еще одно уравнение.

2. Рассмотрим геометрическую сторону задачи

Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I = 0 (2).

3. Рассмотрим физическую сторону задачи

Угол закручивания на грузовом участке длиной, где М t описывается линейным уравнением можно представить в виде:

(3). Подставим (3) в (2): . (4)

Запишем уравнение крутящих моментов на грузовом участке, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t , I = - М В + mx , подставим уравнение внутреннего усилия в (4):

Решим полученное уравнение относительно одного неизвестного М В . Далее задача решается как статически определимая.

Расчёт стержней при кручении по предельному состоянию. Рассмотрим распределение касательных напряжений в поперечном сечении круглого стержня, выполненного из упругопластического материала, подчиняющегося идеализированной диаграмме Прандтля (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Диаграмма Прандтля

τ max < τ s τ max = τ s . τ s τ s

M t = τ s W ρ Упругое ядро Пластический шарнир

(M t , lim )

Рис. 11.5. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении

При углах сдвига γ ≤ γ s материал подчиняется закону Гука, т.е. τ = G γ, при γ = γ s касательное напряжение достигает предела текучести τ s , при γ > γ s материал «течёт» при постоянном напряжении τ = τ s . На этом заканчивается чисто упругая стадия работы (рис. 11.5 б) и момент достигает опасного значения. При дальнейшем увеличении крутящего момента эпюра напряжений приобретает вид, приведённый на рис. 11. 5 в. При увеличении крутящего момента упругое ядро уменьшается, и текучесть материала происходит по всему сечению, наступает состояние предельного равновесия, соответствующее максимуму несущей способности стержня. Для сплошного круглого сечения в случае, представленном на рис. 11. 5 г грузоподъёмность стержня повышается на 33% по сравнению с грузоподъёмностью, вычисленной для ситуации приведённой на рис. 11. 5 г.

4.4. Статически неопределимые задачи кручения

Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В

одно уравнение равновесия: :

входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.

Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то

Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении

4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Здесь и - зависят от отношения .

Коэффиценты.	Отношение большей стороны сечения к меньшей .

Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.

4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней

Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.

Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то

..gif" width="42" height="26">.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнитрезервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система яв­ляется плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1  N 2 sin  = 0;N 2 cos   Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неиз­вестных усилия в стержнях. Получсис­тема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически

ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или .

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, , .

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:

; ; .

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

; ,

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

; ; .

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .

Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.

Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.

Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .

При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.

Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.