Правила перевода в римскую систему счисления. Римская система счисления

>> Римская система счисления

§ 4.3. Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления , применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 - вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов {Centum - сто, Demimille - половина тысячи, Mille - тысяча).

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.

Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI - число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десятичное число 99 имеет такое представление:

То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблицы , которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Эта таблица позволяет записать любое целое число от 1 до 3999. Чтобы это сделать, сначала запишите свое число как обычно (в десятичной системе ). Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующие .

Для того чтобы записать числа, большие 3999, применяют специальные правила, но знакомство с ними выходит за рамки нашего курса.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Босова Л. Л. Информатика: Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 208 с.: ил.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Слайд 2

Цель работы:

Познакомиться с историей возникновения и развития римской системы счисления Познакомиться с правилами составления чисел римской системы счисления Узнать,как выполняли арифметические действия с этими числами

Слайд 3

ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ

Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1-I 5-V 10-X 50-L 100-C 500-D 1000-M Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X – две таких руки. Но есть и другое объяснение.Когда счёт шёл десятками, то нарисовав 9 палочек,десятой из перечёркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечёркивали одну палочку и писали так: Х. Так и получилась эта римская цифра, а цифру 5 писали просто разрезав X пополам. Так получилась V.

Слайд 4

Спорят учёные и о происхождении других римских чисел. Возможно, что обозначения С,М связаны с римскими названиями сотен и тысяч:1000- *милле* (слово *миля* когда-то обозначало расстояние в тысячу шагов). Обозначая числа, римляне записывали столько цифр,чтобы их сумма давала нужное число.Например число 7 они записывали так – VII, а число 362 – CCCLXII. Как видите, сначала идут большие числа, а затем меньшие. Но иногда римляне писали меньшую цифру перед большой. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось как IV (без одного 5), а число 9 – IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что если вы увидите на старинном доме надпись сделанную римскими цифрами MDCCCXLIV , то легко определите, что он построен в 1844 году. Самым большим числом, которое умели обозначать римляне, было 100 000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова *сотен тысяч* опускались. Запись означала 10 сотен тысяч,то есть миллион.

Слайд 5

Хотя римская нумерация была не слишком удобной, она распространилась по всей ойкумене- так называли древние греки весь обитаемый древний мир. Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили их к своей империи. Со всех стран они взимали громадные налоги и при этом пользовались своим обозначением чисел. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула Римская империя, в деловых бумагах Западной Европы применялась эта неудобная нумерация. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы до 16 века.

Слайд 6

ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

Для записи чисел в римской системе используются два правила: 1. Каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. 2. Каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

Слайд 7

ПРИМЕРЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ:

Пример 1. Число 444, имеющее в десятичной записи три одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV =(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида) Пример 2. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид: MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа, участвуют отдельные *цифры*. Пример 3. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII =(X+X+X)+(I+I)=30 +2 (две группы первого вида).

Римская система нумерации с помощью букв была распространена в Древнем Риме и Европе на протяжении двух тысяч лет. Только в позднем средневековье ее сменила более удобная для вычислений десятичная система цифр, заимствованная у арабов (1,2,3,4,5…).

Но, до сих пор римскими цифрами обозначаются даты на монументах, время на часах и (в англо-американской типографической традиции) страницы книжных предисловий, размеры одежды, главы монографий и учебников. Кроме того, в русском языке римскими цифрами принято обозначать порядковые числительные. Система Римских цифр в настоящее время применяется при обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975), в исторических памятниках права как номера статей (Каролина и др)

Для обозначения чисел применялось 7 букв латинского алфавита (первая буква слов – пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот, тысяча):

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

С (100) -это первая буква латинского слова centum (сто)

а М - (1000) - на первую букву слова mille (тысяча).

Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000)

Знак V (5) является верхней половиной знака Х (10)

Промежуточные числа образовывались путем прибавления нескольких букв справа или слева. Сначала пишутся тысячи и сотни, затем десятки и единицы. Таким образом, число 24 пишется как XXIV

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр.

При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая - перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Другими словами - если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее прибавляют к большему; если слева - то вычитают: VI - 6, т.е. 5+1 IV - 4, т.е. 5-1 LX - 60, т.е. 50+10 XL - 40, т.е. 50-10 CX - 110, т.е.100+10 XC - 90, т.е. 100-10 MDCCCXII - 1812, т.е. 1000+500+100+100+100+10+1+1

Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Во избежание 4-х кратного повторения число 3999 записывается как MMMIM.

Возможно различное обозначение одного и того же числа. Так, число 80 можно представить как LXXX (50+10+10+10) и как XXC(100-20).

Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

Например, VI = 5+1 = 6, IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII).

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Римские цифры

MCMLXXXIV

Примечание:

Основные римские цифры: I(1) - unus (унус) II(2) - duo (дуо) III(3) - tres (трэс) IV(4) - quattuor (кваттуор) V(5) - quinque (квинквэ) VI(6) - sex (сэкс) VII (7) - septem (сэптэм) VIII (8) - octo (окто) IX (9) - novem (новэм) X (10) - decem (дэцем) и т.д. XX (20) - viginti (вигинти) XXI (21) - unus et viginti или viginti unus XXII (22) - duo et viginti или viginti duo и т.д. XXVIII (28) - duodetriginta (дуодэтригинта) XXIX (29) - undetriginta (ундэтригинта) XXX (30) - triginta (тригинта) XL (40) - quadraginta (квадрагинта) L (50) - quinquaginta (квинквагинта) LX (60) - sexaginta (сэксагинта) LXX (70) - septuaginta (сэптуагинта) LXXX (80) - octoginta (октогинтна) XC (90) - nonaginta (нонагинта) C (100) - centum (центум) CC (200) - ducenti (дуценти) CCC (300) - trecenti (трэценти) CD (400) - quadrigenti (квадригэнти) D (500) - quingenti (квингэнти) DC (600) - sexcenti (сэксценти) DCC (700) - septigenti (сэптигэнти) DCCC(800) - octingenti (октигенти) CM (DCCCC) (900) - nongenti (нонгэнти) M (1000) - mille (милле) MM (2000) - duo milia (дуо милиа) V (5000) - quinque milia (квинквэ милиа) X (10000) - decem milia (дэцем милиа) XX (20000) - viginti milia (вигинти милиа) C (1000000) - centum milia (центум милиа) XI (1000000) - decies centena milia (дэциэс центэна милиа)"

Ученик 6 класса школы №1231 Воронин Александр

Римская система счисления основана на употребление особых знаков для десятичных разрядов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Римская система счисления Александр Воронин, 6 «А» класс, школа 1233, г. Москва

Римские цифры Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, Х =10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх. Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Римские цифры (продолжение) Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр, например: I = 1 X = 10 II = 2 XX = 20 III = 3 XXX = 30 При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая - перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). VI = 6 XIX = 19 IV = 4 XXI = 21 Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Непозиционная система счисления Непозиционные – это такие системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любого символа постоянен, и зависит только от его начертания. Позиция (место) символа в числе значения не имеет. Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ. Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма символов (цифр). Наша десятичная система счисления – позиционная. В зависимости от места положения один и тот же символ (цифра) может обозначать единицы, десятки, сотни и т.д. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Недостатки непозиционных систем - для записи больших числе приходиться вводить новые цифры; - невозможно записывать дробные и отрицательные числа; - сложно выполнять арифметические операции.

Сложение и вычитание Сложить два римских числа не очень сложно: XIX + XXVI = XXXV Последовательность выполнения сложения такова: а) IX+VI: I после V "уничтожает" I перед X, поэтому в результате получаем XV; б) X+XX=XXX, если добавить еще один X, получим XXXX, или XL. Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Но чтобы из 500 вычесть 263, 500 надо сначала разложить на более мелкие составляющие и «сократить» повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки: D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII

Умножение С умножением дело обстояло сложнее. Пусть требуется умножить 126 на 37 (знаки действий будем употреблять современные; у римлян их не было, названия действий писались словами). СХХVI * XXXVII? Приходится умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения. Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.

Умножение: способ I CXXVI * XXXVII = CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * V = DCXXX CXXVI * I = CXXVI CXXVI * I = CXXVI =MMMDCCCCCCCCCLLLXXXXXXXXXXVVII= = MMMMDCLXII = 4662 А если бы мы попробовали умножить при помощи римских цифр 84573 и 4768? Сколько листов бумаги пришлось бы исписать, какова вероятность наделать при этом ошибок и описок...

Умножение (способ II) Другой способ умножения - через двоичную арифметику. Удвоить число в римской записи сравнительно просто, как и поделить на два. Умножим 3 7=X XX VII на 1 2 6 = C XX V I Запишем два числа рядом с разделителем и будем одно из них делить, второе умножать на два, записывая полученное в столбик. X XX VII (37) C XX V I (126) LXXIV (74=37*2) LXIII (63=126:2) CXLVIII (148=74*2) X XXI (31=63:2 – округляем вниз до целого числа) CCLXLVI (296=148*2) XV (1 5 =3 1:2 – округляем вниз до целого числа) DLXLII (592=296*2) VII (7 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) MCLXXXIV (1184=592*2) III (3 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) MMCCCLXVIII (2368=1184*2) I (1 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) Теперь нужно сложить числа в первом столбике, но не все, а только те, которые стоят напротив нечётных чисел во втором столбике: MMCCCLXVIII + MCLXXXIV + DLXLII + CCLXLVI + CXLVIII + LXXIV = = MMMMDCLXII = 4662

Деление Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак. Только «высоко образованные» люди умели работать на нём.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ В римской системе счисления не было нуля. Не было даже такого понятия, как «ничего». Большинство исследователей сходятся во мнении, что максимальным является число 4999 (MMMMCMXCIX) Римлянам не надо было знать таблицу умножения. Как видно из примера на стр.8, нужно было уметь умножать на 1 и 10 – очень простые действия – и на 5. Те, для кого последнее действие представляло трудность, могли заменить его на умножение на 10 и деление на 2. Вот бы нам так!

Применение В наше время римские цифры используются для обозначений Века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э. Порядкового номер монарха: Карл V, Екатерина II. Номера тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав). В некоторых изданиях - номеров листов с предисловием к книге. Маркировки циферблатов часов, в том числе на кремлевских курантах. Важных событий или пунктов списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XX съезд КПСС, Игры XXII Олимпиады. В химии, медицине, юриспруденции.

А теперь самое интересное… Задачки с римскими цифрами: необходимо переложить одну палочку и получить верное равенство VI – IV = IX VI – IV = VII VI + IV = XII А эта задачка для Ольги Викторовны – нашей учительницы по математике (подсказала мама) VII + V = VI

Головоломка Профессор Нумерус преподает в университете латынь и историю. В свободное время он любит решать головоломки, а также придумывает их для внуков. Однажды он выиграл на конкурсе 10 000 евро. Он разделил деньги среди своих внуков следующим образом: Мартина (Martina) получила 1000 евро, Даниэль (Daniel) – 500 евро, Кристина (Christine) – 100 евро, Леон (Leon) – 50 евро, Ксафер (Xaver) – 10 евро, Виктория (Victoria) – 5 евро, а Инго (Ingo) – только 1 евро. Внуки считают это несправедливым. Но профессор Нумерус смеется. Кто догадается почему он так разделил деньги, получит оставшуюся сумму.

Cтраница 1

Римская система счисления является примером системы с очень сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций.  

Римская система счисления неудобна в пользовании и в настоящее время почти не применяется.  

Римская система счисления - не позиционная, поскольку значение числа не зависит от положения цифры в ряду цифр.  

Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое. Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения.  

В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.  

Примером непозиционной системы может служить римская система счисления, которая сохранилась до наших дней.  

Так, например, в римской системе счисления число XXX содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.  

Более сложной непозиционной системой счисления является римская система счисления. В этой системе используются принципы не только сложения, но и вычитания. Если цифра, имеющая меньший количественный эквивалент, располагается справа от цифры с большим количественным эквивалентом, то их количественные эквиваленты складываются, если слева, то вычитаются.  

До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем - римская система счисления.  

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит и изменяется от ее положения в записи числа. К непозиционным относится римская система счисления, в которой значение цифры не зависит от места ее расположения в числе.  

В римской системе счисления каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, т.е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Таким образом, римская система счисления не является позиционной системой счисления.  

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Так, например, десятичная система счисления является позиционной, а римская система счисления непозиционной.  

Непозиционной системой счисления называют такую систему, в которой количественный эквивалент цифры не зависит от ее месторасположения в записи числа. Примером непозиционной системы счисления, основанной на принципе сложения и вычитания, является общеизвестная римская система счисления, которая практического применения почти не имеет и в дальнейшем не рассматривается.