Мартин гарднер. математические чудеса и тайны. Математические чудеса и тайны

Гарднер Мартин

"МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ"

Предисловие редактора к русскому изданию

Перед вами обычная квадратная шахматная сетка из 64 клеток. На ваших глазах делается несколько разрезов и из получившихся частей составляется прямоугольник, в котором, однако, всего 63 клетки!

Вы задумали число - одно из тех, что написаны на карточках, разбросанных по столу. Ваш партнер поочередно трогает карточки указкой, а вы в это время произносите про себя по буквам задуманное число, и когда вы доходите до последней буквы, указка останавливается как раз на вашем числе!

Фокусы? Да, если хотите; а лучше сказать - эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел и лишь облеченные в несколько экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента - это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность.

Вот этой скрытой математичностью и интересна книга Мартина Гарднера. Скрытой - потому что по большей части сам автор не формулирует на языке математики закономерностей, лежащих в основе его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных и тайных; но читателю, знакомому с элементами школьной алгебры и геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить по объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею. Впрочем, в отдельных, более интересных случаях (отмеченных числами с круглой скобкой) мы позволили себе сопроводить изложение автора небольшими примечаниями, выявляющими математическую суть его построений, эти примечания помещены в конце книги.

Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.

Если при учебном изложении стремятся к возможно большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности и занимательности, наоборот, как можно хитрее маскируют суть дела. Именно поэтому вместо отвлеченных чисел так часто используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, монеты и даже карты (разумеется, такое использование карт не имеет ничего общего с бессмысленным времяпровождением азартных игроков; как указывает автор, здесь карты рассматриваются тросто как одинаковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли-»).

Мы надеемся, что книга Гарднера будет интересна многим читателям: юным участникам иисольных математических кружков, взрослым «неорганизованным» любителям математики, а может быть, тот или иной из описанных здесь экспериментов пробудит улыбку и у серьезного ученого в краткий момент отдыха от большой работы.

Г. Е. Шилов

И все-таки математические фокусы, подобно шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью. Неудивительно поэтому, что наибольшее наслаждение они приносят тому, кто одновременно знаком с обеими этими областями.

Настоящая книга, насколько мне известно, представляет собой первую попытку обзора всей области современного математического фокуса. Большая часть материала книги взята из специальной литературы посвященной фокусам, а не из развлекательной математической литературы. По этой причине лица, изучавшие развлекательную математическую литературу, но незнакомые с современной специальной литературой, посвященной фокусам, вероятно, встретят в этой книге новую область развлекательного знания - новое богатое поле, о существовании которого они могли совершенно не подозревать.

Нью-Йорк, 1955 г.

Мартин Гарднер

Глава первая. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ

Игральные карты обладают некоторыми специфическими свойствами, которые можно использовать при составлении фокусов математического характера. Мы укажем пять таких свойств.

1. Карты можно рассматривать просто как одинаковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли.

С таким же успехом можно было бы пользоваться камешками, спичками или листочками бумаги.

2. Картам можно приписывать числовые значения от 1 до 13 в зависимости от того, что изображено на их лицевой стороне (при этом валет, дама и король принимаются соответственно за 11, 12 и 13)).

3. Их можно делить на четыре масти или на чёрные и красные карты.

4. Каждая карта имеет лицевую и обратную стороны.

5. Карты компактны и одинаковы по размеру. Это позволяет раскладывать их различным образом, группируя в ряды или составляя кучки, которые тут же можно легко расстроить, просто смешав карты.

Благодаря такому обилию возможностей карточные фокусы должны были появиться очень давно, и можно считать, что математические фокусы с картами, безусловно, столь же стары, как сама игра в карты.

По-видимому, наиболее раннее обсуждение карточных фокусов, выполненное математиком, встречается в развлекательной книжке Клода, Гаспара Баше (Claud Gaspard Bachet «Problemes plaisants et delectables»), вышедшей во Франции в 1612 году. Впоследствии упоминания о карточных фокусах появлялись во многих книжках, посвященных математическим развлечениям.

Первым и, возможно, единственным философом, снизошедшим до рассмотрения карточных фокусов, был американец Чарлз Пейрс (Charles Peirce). В одной из своих статей он признается, что в 1860 году «состряпал» несколько необыкновенных карточных фокусов, основанных, пользуясь его терминологией, на «циклической арифметике». Два таких фокуса он подробно описывает под названием «первый курьез» и «второй курьез».

«Первый курьез» основан на теореме Ферма. Для одного лишь описания способа его демонстрации потребовалось 13 страниц н дополнительно 52 страницы были заняты объяснением его сущности. И хотя Пейрс сообщает о «неизменном интересе и изумлении публики», вызываемом его фокусом, кульминационный эффект этого фокуса представляется настолько не соответствующим сложности приготовлений, что трудно поверить, что зрители не погружались в сон задолго до окончания его демонстрации.

Вот пример того, как в результате видоизменения способа демонстрации одного старого фокуса необычайно возросла его занимательность.

Шестнадцать карт раскладываются на столе лицевой стороной кверху в виде квадрата по четыре карты в ряд. Кому-нибудь предлагается задумать одну карту и сообщить показывающему, в каком вертикальном ряду она лежит. Затем карты собираются правой рукой по вертикальным рядам и последовательно складываются в левую руку. После этого карты снова раскладываются в виде квадрата последовательно по горизонталям; таким образом, карты, лежавшие при первоначальной раскладке в одном и том же вертикальном ряду, теперь оказываются в одном к том же горизонтальном ряду. Показывающему нужно запомнить, в каком из них лежит теперь задуманная карта. Далее зрителя просят еще раз указать, в каком вертикальном ряду он видит свою карту, Понятно, что после этого показывающий может сразу же указать задуманную карту, которая будет лежать на пересечении только что названного вертикального ряда и горизонтального ряда, в котором, как известно, она должна находиться. Успех этого фокуса, конечно, зависит от того, следит ли зритель за процедурой настолько внимательно, чтобы распознать суть дела.

Пять кучек карт

А теперь расскажем, как этот же самый принцип используется в другом случае.

Показывающий усаживается за стол вместе с четырьмя зрителями. Он сдает каждому (включая себя) по пяти карт, предлагает всем посмотреть их и одну задумать. Затем собирает карты, раскладывает их на столе в пять кучек и просит кого-нибудь указать ему одну из них. Далее берет эту кучку в руки, раскрывает карты веером, лицевой стороной к зрителям, и спрашивает, видит ли кто-нибудь из них задуманную карту. Если да, то показывающий (так и не заглянув ни разу в карты) сразу же ее вытаскивает. Эта процедура повторяется с каждой из кучек, пока все задуманные карты не будут обнаружены. В некоторых кучках задуманных карт может вовсе не оказаться, в других же их может быть две и более, но в любом случае карты отгадываются показывающим безошибочно.

Подобно многим другим предметам, находящимся на стыке двух дисциплин, математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Первые склонны рассматривать их как пустую забаву, вторые пренебрегают ими как слишком скучным делом. Математические фокусы, скажем прямо, не принадлежат к той категории фокусов, которая может держать зачарованной аудиторию из неискушенных в математике зрителей; такие фокусы обычно отнимают много времени, и они не слишком эффектны; с другой стороны, вряд ли найдется человек, собирающийся черпать глубокие математические истины из их созерцания.
И все-таки математические фокусы, подобно шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью. Неудивительно поэтому, что наибольшее наслаждение они приносят тому, кто одновременно знаком с обеими этими областями.
Настоящая книга, насколько мне известно, представляет собой первую попытку обзора всей области современного математического фокуса. Большая часть материала книги взята из специальной литературы посвященной фокусам, а не из развлекательной математической литературы. По этой причине лица, изучавшие развлекательную математическую литературу, но незнакомые с современной специальной литературой, посвященной фокусам, вероятно, встретят в этой книге новую область развлекательного знания - новое богатое поле, о существовании которого они могли совершенно не подозревать.

Предисловие редактора к русскому изданию
Из предисловия автора
Глава первая
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ
Пять кучек карт (9).
Карты как счетные единицы. Угадывание числа карт, снятых с колоды (10). Использование числовых значений карт
Фокус с четырьмя картами (11). Удивительное предсказание (12). Фокус с задуманной картой (13). Циклическое число (14). Отсутствующая карта (15).
Фокусы, основанные на различии цветов и мастей Фокус с королями и дамами (19). Использование лицевой и обратной сторон карт. Сопоставление числа карт черной и красной масти (20). Фокус с перевертыванием карт (20).
Фокусы, зависящие от первоначального расположения карт в колоде
Фокус с четырьмя тузами (21). «Манхеттенские чудеса» (22). Сколько переложено карт? (22). Фокус с нахождением карты (23).
Глава вторая
ФОКУСЫ С МЕЛКИМИ ПРЕДМЕТАМИ
Игральные кости
Угадывание суммы (25). Отгадывание выпавшего числа очков (27).
Домино Цепочка с разрывом (27). Ряд из тринадцати косточек (28).
Календари. Таинственные квадраты (29). Фокус с отмеченными датами (29). Предсказание (30).
Часы. Угадывание задуманного числа на циферблате (31). Фокус с часами и игральной костью (32).
Спички. Три кучки спичек (33). Сколько спичек зажато в кулаке?
(34). Кто что взял? (34). Монеты Таинственная девятка (36). В какой руке монета? (36). Герб или «решетка» (37). Шахматная доска. Фокус с тремя шашками (38) Мелкие предметы. Фокус с тремя предметами (39). Фокус с отгадыванием одного из четырех предметов (40).
Глава третья
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Бумажные кольца (44).
Фокусы с носовым платком
Фокус с перерезыванием пальца (48). Фокус со сцепленными платками (50). Проблема завязывания узлов (51).
Шнуры и бечевки
Фокусы со шнуром или бечевкой (52). Другие фокусы со шнуром (56).
Одежда
Загадочная петля (58). Вывертывание жилета наизнанку (59). Снятие жилета (60).
Резиновые кольца Скачущее кольцо (60). Перекрученное кольцо (61).
Глава четвертая
ФОКУСЫ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ СНАРЯЖЕНИЕМ
Карточки с числами (64). Карточки с отверстиями (65). Фокусы с «прикосновениями»
Фокус с шестью квадратиками (66). Карта цветов (67).
Задумайте животное (69). Фокусы с игральными костями и домино 70. Фокус с трехзначными числами (70). Ящичек для фокуса с домино (70). Фокус с фишками (71).
Глава пятая
ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ФИГУР. РАЗДЕЛ I
Парадокс с линиями (73). Исчезновение лица (75). «Исчезающий воин» (76). Пропавший кролик (78).
Глава шестая
ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ФИГУР. РАЗДЕЛ II
Парадокс шахматной доски (79). Парадокс с площадью (81). Вариант с квадратом (82). Числа Фибоначчи (83).
Вариант с прямоугольником (85). Еще один вариант парадокса (87). Вариант с треугольником (90). Квадраты из четырех частей (93). Квадраты из трех частей (95). Квадраты из двух частей (95). Криволинейные и трехмерные варианты (96).
Глава седьмая
ГОЛОВОЛОМКИ С ОТВЛЕЧЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Быстрое извлечение кубического корня (98). Сложение чисел Фибоначчи (100). Предсказание числа (101). Отгадывание числа (102). Тайна девятки (105). Цифровые корни (105). Устойчивость цифрового корня (107). Отгадывание возраста (108). Фокус со сложением (109). Фокус с умножением (109). Тайна семерки (100). Предсказание суммы (112). «Психологические моменты» (114).
Примечания редактора

и сумма всех чисел квадрата равна 9m + 72 = 9(m + 8).

13

Сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равна сумме чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии (с разностью 8) и равна, в силу известной формулы, удвоенной сумме первого и последнего членов.

14

Если зритель задумал k , то до двенадцати остается 12 - k , или 20 - 8 - k , что и отсчитывается показывающим.

15

Два результата, которые нужно сложить, располагаются на циферблате симметрично относительно диаметра, проходящего через начало отсчета (указанное игральной костью).

Так как шкала часов равномерна, то сумма результатов равна удвоенному числу в начале отсчета, если заменить при этом 12 на нуль, 11 - на 1 и т. д., а это означает, что если результат больше 12, то из него нужно вычесть 12, а затем полученную разность разделить пополам.

16

Обозначим первоначальное число спичек через d . После первой операции в крайних кучках останется по d - 3 спичек, а в средней их станет d + 6. После второй операции, состоящей в переносе d - 3 спичек из средней кучки в крайнюю, в средней останется (d + 6) + (d - 3) = 9 спичек.

17

Тот же принцип, который был отмечен в примечании 16 ).

18

Математическая суть этого фокуса состоит в том факте, что сумма 2q + 3r + 5s получает шесть различных значений, когда q, r, s принимают значения 1, 2, 3 или какую-нибудь их перестановку.

Между прочим, коэффициенты 2, 3, 5 - не наименьшие из возможных в этом фокусе. Можно было бы использовать с тем же успехом, например, коэффициенты 1, 3, 4 (А совсем не берет спичек, Б берет дважды столько, сколько у него на руках, В - трижды столько); при этом все суммы не превосходят 19, т. е. можно ограничиться 19 спичками.

19

Счет заканчивается на той монете, которая окажется последней, если ножку девятки монета за монетой накладывать на кольцо по часовой стрелке, начиная от монеты, следующей (по часовой стрелке) за той, к которой подходит ножка.

20

Общее число шашек, стоящих в четных вертикальных рядах, изменяется (в ту или иную сторону) ровно на 1 при каждом ходе. При четном числе ходов четность этого числа не изменится и останется такой же, как при первоначальном размещении шашек. Для размещения AAA это число нечетно, а для размещения ВВВ оно четно.

21

Ниже приводим 8 таких карточек:

22

Можно предложить также следующую систему раскраски пластинок и нанесения чисел:

23

Сумма тонких цифр равна 15, а разность между жирной цифрой и тонкой на каждой фишке есть 5. Поэтому если в начале опыта было k фишек с жирными цифрами, то общая сумма всех цифр, открытых зрителям, была равна 15 + 5k . Допустим, что зритель перевернул i фишек с жирными цифрами и j - с тонкими. Показывающий просит перевернуть обратно эти i фишек и еще k - i фишек, остающихся с жирными цифрами, в итоге общая сумма будет

15 + 5k + 5j - 5(k - i ) = 15 + 5(i + j ) = 30,

причем число фишек с жирными цифрами оказывается равным i + j = 3. Пусть, далее, зритель переворачивает и закрывает р фишек с жирными и q с тонкими цифрами. В результате общая сумма цифр на шести фишках станет

30 - 5p + 5q = 30 - 5p + 5(3 - p ) = 45–10p = 10(3 - p )+15,

Можно упростить счет, если не заставлять зрителя перевертывать накрываемые фишки; тогда сумма цифр накрытых фишек получится вычитанием из 30 суммы цифр открытых фишек.

24

То же требование о нетрнвнальности следует отнести и к проблеме о разрезании криволинейных плоских фигур. Ясно, что если разрезание и составление по-новому допускает квадрат, то допускает разрезание и составление также плоская фигура с любой границей, содержащая данный квадрат внутри себя.

25

Ряд, аналогичный ряду Фибоначчи, но начинающийся не с 1 и 1, а с любых чисел а и Ь , имеет вид

28

Доказано, что частота появления любой цифры в десятичном разложении почти всех чисел одинакова и равна 1/10 (а в разложении с базой m равна - m/10 ). Числа, для которых это не выполняется, как говорят, образуют множество меры нуль, т. е, могут быть заключены в систему числовых промежутков с какой угодно малой общей длиной. См. статью А. Я. Хинчина в 1-м выпуске "Успехов математических наук" за 1936 год.

Гарднер Мартин

"МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ"

Предисловие редактора к русскому изданию

Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.

Нью-Йорк, 1955 г.

Мартин Гарднер

Глава первая. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ

С таким же успехом можно было бы пользоваться камешками, спичками или листочками бумаги.

3. Их можно делить на четыре масти или на чёрные и красные карты.

4. Каждая карта имеет лицевую и обратную стороны.

По-видимому, наиболее раннее обсуждение карточных фокусов, выполненное математиком, встречается в развлекательной книжке Клода, Гаспара Баше (Claud Gaspard Bachet «Problemes plaisants et delectables»), вышедшей во Франции в 1612 году. Впоследствии упоминания о карточных фокусах появлялись во многих книжках, посвященных математическим развлечениям.

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью