Корень одуванчика: лечебные свойства и особенности применения. Корень подсолнечника от камней в почках и поджелудочной железе. Корень подсолнуха для суставов

Подсолнух — это растение, которое ассоциируется с подсолнечным маслом и семечками. Многие используют его части для лечебных целей. Особенно востребованы корни подсолнуха, которые в своем составе имеют большое количество лечебных свойств, используемых в целительстве, но также имеются и противопоказания, о которых будет написано ниже.

Полезные свойства подсолнечника

Подсолнух — это травянистое однолетние растение, которое вырастает длиной в 2 метра и более. Цветет подсолнух в августе, цветок растения большой с золотыми лепестками.

В семечках подсолнуха находится олеиновая и линолевая кислоты. Ценные витамины и микроэлементы, такие как магний, витамин Е.

Масло подсолнуха используется не только для приготовления пищи, но и в лечебных целях.

Подсолнух является медоносом. Мед из растения имеет золотистый цвет с зеленым оттенком.

Лечебные свойства корней подсолнуха

Растение широко используется в медицине для приготовления различных лекарств, которые применяются для лечения всевозможных заболеваний.

• Его принимают для повышения аппетита, выведения солей и камней из организма, при желудочных, кишечных болезнях, профилактики атеросклероза. Также подсолнухом лечат суставы и ожоги.
• Подсолнух очищает организм от холестериновых накоплений.
• Выводит ураты из мочевого пузыря.
• С помощью растения можно вылечить остеохондроз, цистит, приступы головной боли.
• Также проводится общее очищение организма от вредных накоплений.

Важный момент, который следует помнить людям, которые применяют лечебные отвары: подсолнечник способствует тому, что в организме накапливается калий, возникает обезвоживание. Необходимо вместе с приемом отваров и настоев принимать достаточное количество воды.

Как правильно собирать и хранить корни подсолнуха

В народной медицине уже давно используют лечебные свойства корней подсолнуха. Растение можно выращивать самому на своем участке или приобрести готовые корни.

Готовые корни придут запакованные и очищенные, практически готовые к использованию.

Чтобы правильно заготовить корни растения самому, нужно дождаться необходимого периода. Самым подходящим моментом для сбора корней считается время, когда семечки собраны и шляпа срезана.

Необходимо выкопать корни подсолнуха и отряхнуть всю землю. Мыть корни пока не надо, следует очень хорошо убрать всю грязь с помощью щетки.

Чтобы собрать пригодный материал, который будет использоваться в рецептах для лечения, надо с основного корня удалить все мелкие и средние молодые корешки — ответвления. Основные полезные свойства содержатся в толстом корне.

Следующее действие — это промывка лекарственного материала. После того, как корни выкопали, очистили от земли, обрезали, их промывают под проточной водой. Если этого не сделать до сушки, то отвар в последствии получится мутным.

Протирают корни чистой мягкой тканью. Затем уже чистый материал измельчают на небольшие кусочки, примерно по 1-2 см. Корень подсолнечника очень твердый, поэтому для измельчения многие пользуются топориком: сначала рубят вдоль, потом уже на кусочки.

Следующий шаг — сушка. В этом деле главное правило правильно высушить лечебный материал. От этого зависят лечебные свойства корней растения. Самым правильным способом считается сушка на деревянных решетках в тени в хорошо проветриваемом помещении. Очень важна постоянная циркуляция воздуха. Еще можно досушивать корни в электрической сушилке, если она у вас есть.

Хранить корни можно в плотных мешочках из натуральной полотняной ткани на протяжении трех лет. Все это время корни подсолнуха не теряют свои лечебные и полезные свойства.

Применение корней подсолнуха в народной медицине

В народной медицине корень подсолнечника используется много веков. Это самое первое средство, которое выводит камни и соли из почек, . Отвар корней способен растворять не все камни, его действию поддаются только оксалатные и уратные образования.

Отвар из корней подсолнуха для избавления организма от солей

Рецепт отвара из корней очень простой и трудностей с его приготовлением в домашних условиях быть не должно. Для того чтобы приготовить целебный отвар, понадобится три литра воды и стакан корней подсолнуха. Чистые высушенные корни растения поместить в холодную воду и довести до кипения. Кипятить отвар необходимо ровно пять минут. Далее лекарство процедить и применять по рецепту ниже.

Корни, которые остались, выбрасывать не надо, они будут пригодны еще для двух применений.

Следующую порцию отвара также надо приготовить в трех литрах воды, но на этот раз корни необходимо кипятить десять минут.

Заключительный третий раз корни варят пятнадцать минут.

Отвар используют для избавления от солей и камней в желчном пузыре, печени, почках. За день надо выпивать литр отвара разделяя его на равные части в течение всего дня. Лечение проводить в течение двух месяцев. Примерно через месяц начнется основное очищение, вы можете от этом узнать по изменившемуся цвету мочи.

У некоторых людей во время питья отвара может «скакать» давление, чаще оно повышается. Это не является противопоказанием, просто уменьшите на первое время дозу выпитого, а затем, как организм привыкнет, вернитесь к рекомендованной дозировке.

Если человек с помощью отвара из корней подсолнуха хочет избавиться от вредных накоплений в организме, то необходимо не только пить лекарственный отвар, но и придерживаться диеты. Исключить из рациона блюда, которые содержат много жиров, углеводов, острые, копченые блюда, алкоголь.

Отвар от боли и воспалений в суставах

Для лечения суставов можно пить отвар, рецепт приготовления которого описан выше. Но можно его и не пить, если вы точно знаете, что солей в суставах у вас нет. Для того, чтобы снять воспаление и надо принимать отвар внутрь, выпивая литр средства на протяжении всего дня небольшими порциями.

Но в дополнение к этому рекомендуется применять компрессы из более концентрированного раствора: стакан сырья залейте литром воды и кипятите на медленном огне 1 час. За время кипячения количество отвара уменьшится примерно вдвое. Каждый вечер перед сном на больные суставы прикладывайте компресс: мягкую ткань нужно смочить в отваре, отжать, обернуть сустав, обернуть пленкой и теплым платком. Держать до утра. Именно компрессы окажут наибольшее лечебное воздействие.

Использование корней подсолнуха при сахарном диабете

Использование корня подсолнуха . Для того, чтобы приготовить отвар, необходимо собрать мелкие волосяные части, которые отходят от корня. Очень важно правильно собрать лечебный материал. Корень необходимо выкопать, когда подсолнух находится в цветении в середине-конце лета. Лучшее время после того, как прошел дождь и земля мокрая, тогда все мелкие корешки не оторвутся и не повредятся.

Мелкие части очистить от земли, вымыть и высушить. Поскольку корешки тонкие, то сохнут они довольно быстро, сохраняя все полезные свойства.

Рецепт еще проще — для приготовления лекарства понадобится столовая ложка корешков и 2,5 литра чистой воды.

В емкость объемом три литра поместить корни подсолнуха и залить 2,5 литрами кипятка. Посуду с лечебным средством необходимо хорошо укутать и оставить на сорок минут до полного остывания. Рекомендуется пить настой на протяжении всего дня в любом количестве, как обычную воду. Каждый день нужно готовить новую свежую порцию. Регулярный прием в течение нескольких недель настоя из корней подсолнуха заметно улучшает течение болезни и постепенно снижает уровень сахара в крови.

Лечение остеохондроза

Для того, чтобы избавиться от данной проблемы, которая проявляется болью в суставах, пояснице, шейном отделе, используют лечение отварами на основе корней подсолнуха.

При проведении лечения очень важно придерживаться диетического меню. Отказаться от острых, копченных блюд, кофеина, также нельзя кушать кислые продукты.

• Рецепт приготовления отвара:

— Корни подсолнуха 100 гр

— Вода полтора литра.

В кипящую воду поместить корни и варить на слабом огне пять минут. Пить отвар необходимо на протяжении дня небольшими порциями всю порцию. Курс приема средства два месяца.

Лечение корнями подсолнуха цистита

Одной из очень неприятных болезней мочеполовой системы является цистит. Это заболевание проявляется болью и частыми позывами к мочеиспусканию. Обычно проводят лечение болезни, применяя антибиотики. В народной медицине для лечения этого недуга используется корень подсолнуха. Лечение помогает облегчить болезнь и не допустить хронического течения цистита.

Для приготовления отвара необходимо стакан корней подсолнуха всыпать в кипящую воду и проварить две минуты. Количество воды 3 литра. Оставить отвар, чтобы настоялся на протяжении часа. Пить средство надо месяц. В день необходимо выпивать до литра лекарственного средства.

Противопоказания к применению корней подсолнуха

У подсолнечника практически нет противопоказаний.

Нельзя принимать настои и отвары беременным женщинам и мамам, которые кормят детей грудным молоком. Поскольку после использования отваров на основе растения, увеличиваются позывы на мочеиспускание, то беременным, которых во второй половине беременности беспокоит эта проблема, только добавится хлопот.

Также не следует применять растение для изгнания камней, которые не разрушаются этим средством, например карбонатные камни. Поэтому сначала определите какого свойства ваши камни в мед. учреждении, а только потом, при согласовании с врачом, пейте отвар.

У некоторых людей могут возникать аллергическая реакция на подсолнух.

Самым оптимальным вариантом продукта, которое можно применять для лечебных целей, считается подсолнух выращенный своими руками на даче. Покупая средство нельзя быть уверенным, что его правильно вырастили и он не содержит в своем составе огромного количества пестицидов, ядов и нитратов. Все эти компоненты только поспособствуют ухудшению здоровья.

Подсолнух – не только источник семян для получения масла. Это съедобное лекарственное растение. Нежные листовые черешки, семена и цветы являются съедобными и используются для лечения различных заболеваний.

Он активно применяется в народной медицине. Листья как мочегонное, отхаркивающее и вяжущее средство. Они помогают уменьшить лихорадку. Припарка из них наносится на язвы, укусы, отечности.

Мало кто знает, что его корни отличное средство от солей в суставах и выведения камней из почек. Активные вещества, содержащиеся в них, помогают эффективно очистить организм, восстановить подвижность суставов.

Подсолнечник относится к семейству растений «Астровые» рода «Подсолнечник». Эту масличную культуру выращивают по всему миру. Он идет не только на масло, но служит кормом для скота.

Его латинское название Heliánthus ánnuus, где первое слово означает в переводе с греческого солнце, второе – цветок. Да, он все время поворачивается к солнцу.

Родиной подсолнуха считается север Южной Америки (территория современной Мексики и Перу) и юг Северной Америки. В Европу его семена завезли первые колонисты в начале 16 столетия, где выращивались вначале как декоративные цветы.

Это высокое растение, некоторые сорта могут достигать 2,5 метра и более, с крепким стеблем, полым внутри, большими шершавыми листьями и стеблями.

Лепестки цветков длинные, в несколько рядов от светло-желтого до темно-желтого цвета.

Чем полезны корни подсолнуха

Немногие знают, что весь подсолнух обладает лечебными свойствами. И все это благодаря химическому составу. Он отличается в разных частях.

Характерный аромат подсолнечному маслу придают активные вещества семечек, среди которых есть каротиноиды, фосфолипиды, стерины и другие.

Цветки и листья содержат:

Кумарины;

Флавоноиды;

Гликозиды;

Сапонины;

Каротиноиды;

Антоцианы;

Фенолкарбоновые кислоты.

В корнях растения присутствуют:

Органические кислоты;

Алкалоиды;

Стероиды;

Сапонины.

Содержится в них калий, кальций, фосфор, железо.

Лечебные свойства корней подсолнуха

Понимание и знание его лекарственных свойств поможет правильно использовать эту траву для лечебных целей. Он обладает следующими свойствами:

Противовоспалительными;

Вяжущими;

Мочегонными;

Смягчающими;

Отхаркивающими;

Стимулирующими;

Очищающими.

Препараты на основе корней могут:

Уменьшить головную боль;

Очистить организм от шлаков, солей и токсинов;

Способствовать снижению высокого артериального давления.

Показания к применению

Целительные свойства корня подсолнуха хорошо известны в народной медицине. Помимо выведения солей из суставов он лечит:

Ревматизм;

Остеохондроз;

Боли в мышцах;

Применяют его при:

Сердечно-сосудистых заболеваниях;

Высоком давлении;

Болезнях желудка;

Сахарном диабете;

Головной боли;

Камнях в почках и поджелудочной железе.

Корень подсолнечника от камней в почках и поджелудочной железе

Известно, что камни бывают разными по своему происхождению. Выделяют:

Оксалаты;

Карбонаты.

Могут быть камни смешанного характера.

В большинстве случаев для образования камней служит щелочная среда. Поэтому оксалаты, ураты, фосфаты очень плохо растворяются и выводятся из организма.

Из химии многим известно, что подобное растворяется подобным. Как, например, керосин может растворить все продукты, полученные из нефти.

Применение корней подсолнуха основано именно на этом свойстве. Алкалоиды, которые в них присутствуют, по своей природе являются азотосодержащими щелочными веществами.

Поэтому их можно применять для растворения оксалатных, карбонатных и фосфатных камней. В некоторых случаях они могут помочь при уратах. Причиной образования этих камней являются проблемы пищеварительной системы и накопление солей мочевой кислоты.

Это верно и при наличии камней в желчном пузыре.

Корень подсолнуха для суставов

Во многом причиной заболеваний суставов служит отложение солей в них. В свою очередь – это результат малоподвижного образа жизни и неправильного питания.

Настоем и отваром корня можно почистить их от шлаков, предотвратить накопление солей и развитие воспалений, которые в свою очередь могут привести к более серьезным заболеваниям, включая артроз и артрит.

Вылечить уже деформированные суставы он не поможет. Поэтому позаботьтесь о своем здоровье заранее.

Лечение корнем подсолнечника

Выведение камней и солей не единственное использование корней для лечения. Их применяют при многих других патологиях.

Желчегонный настой

Чайную ложку измельченных корней нужно заварить стаканом (200 грамм) кипятка. Накрыть полотенцем и дать настояться около 20 минут. Употребляют трижды в день за полчаса до еды по 50 мл.

При заболеваниях желудка

Используют настой с семенами фенхеля. Для него берут 1 часть семян и 3 части измельченных корней. Тщательно перемешивают и берут столовую ложку сбора. Заливают 200 мл кипятка и, укутав, дают настояться 2 часа.

Пьют по одной трети стакана за несколько минут до еды трижды в день.

При запорах

При запорах готовят настой из 1 чайной ложки корней и 200 мл кипятка. Настаивают 15-20 минут и выпивают по 50 мл 3-4 раза.

При простуде

Как отхаркивающее и болеутоляющее средство при воспалении горла помогает отвар, приготовленный 3-х столовых ложек корней и 500 мл воды. Заливают горячей водой и проваривают на слабом огне 2 минуты. Остудить до комнатной температуры.

Принимают при кашле и в виде полосканий для горла.

Припарки при болях в суставах

Такие компрессы помогут при болях в локтевом, плечевом, коленном суставе. Для приготовления отвара взять стакан измельченных корней и 500 мл воды.

Сырье залить водой и проварить при слабом кипении около одного часа. Остудить до комфортной температуры и процедить.

Затем смочить салфетку и приложить к больному месту. Сверху накрыть пленкой и укутать. Желательно делать такие компрессы на ночь.

Корни подсолнечника для очищения от солей и камней в почках

Этот рецепт выведения солей из суставов с помощью коренй подсолнечника описан во многих книгах по народной медицине. Есть он в энциклопедии народной медицины, изданной под руководством Н Мазнева. Вот этот рецепт.

1 стакан корней заваривают 3 литрами кипятка. Укутывают и настаивают. После процеживания корни оставляют для последующего заваривания. Хранят в холодильнике.

Выпивают настой в течение 2-3 дней, разделив на равные порции. Чай пьют стаканами, т.е. за один прием выпить сразу стакан.

Для следующей порции эти же корни заваривают вновь 3 литрами воды и кипятят 5 минут. Процедив, корни оставляют для третьего раза.

Затем кипятят вновь, но уже 10-15 минут. Процедив, выбросить использованное сырье.

Затем для приготовления следующей порции берут новое сырье. Пьют его на протяжении 1-2 месяцев. Первые результаты появляются только спустя не менее 2-х недель.

Длительность курса зависит сколько будут идти соли. Когда моча станет светлой, лечение нужно прекратить. На весь курс в среднем требуется 5-7 стаканов корней. Готовый отвар хранят в холодильнике.

На период чистки нужно придерживаться диетического питания, избегать жирной, копченной очень соленой пищи.

Корни подсолнечника при диабете

Эти волоски отрывают от основного корневища, промывают и высушивают. Измельченные корни заваривают как чай. Пить нужно по половине стакана каждые 2 часа.

Такой чай стабилизирует состояние и снижает уровень сахара в крови.

Как заготовить сырье

Для выведения солей и камней нужно заготовить толстые корневища. Выкопанные корни тщательно очистить от земли и обрезать все тонкие.

Затем их промывают несколько раз в прохладной воде.

Промытые корни нарезают небольшими кусочками и высушивают в хорошо проветриваемом помещении вдали от солнечных лучей.

Очень толстые корни перед сушкой нужно разрезать на вдоль на несколько частей, чтобы их толщина была примерно с карандаш.

Хранят в картонных коробках или бумажных пакетах. Можно пересыпать в банку с крышкой.

Противопоказания и побочные эффекты

Так как их в основном используют для очищения суставов и организма от шлаков и солей, то с осторожностью к такому лечению нужно относится женщинам при беременности или кормлении грудью.

Противопоказано лечение при индивидуальной непереносимости.

Нельзя пить препараты на их основе тем людям, которые не выяснили природу камней. Но в любом случае сначала нужно проконсультироваться с врачом. Они провоцируют движение камней, которые могут перекрыть мочеточники или желчевыводящие протоки.

Побочным явлением такой терапии может быть повышение артериального давления. Если вы склонны к гипертонии, начинайте пить отвар с небольшой дозировки и постепенно увеличивая.

Во время растворения камней и солей в суставах может ощущаться боль, ломота. Это пройдет через некоторое время.

Подсолнечник не только красивое цветущее растение, которое у многих растет в палисаднике как декоративное растение. Он мощный лекарь, способный помочь избавиться от многих недугов. Не поленитесь заготовить его корни, и вы сможете забыть про боли в ногах, пальцах, в спине.

Cтраница 1

Использование корней необходимо в ряде простых формул анализа данных. Корень квадратный числа - это значение, которое при возведении в квадрат дает исходное число.  

Использование корней характеристического уравнения для оценки качества системы не всегда является достаточным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения.  

Таким образом, использование корня в качестве имени переменной позволяет обрабатывать все элементы массива одновременно.  

Оно может быть получено заменой умножения сложением и использованием р-х корней вместо корней яьй степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется.  

Реализуйте версию функции join (см. программу 12.17), которая принимает произвольное решение относительно использования корня первого или корня второго дерева в качестве корня результирующего дерева.  

Как видно из таблицы, приближенные формулы дают вполне удовлетворительные, с точки зрения практики, результаты. В действительности результаты, получаемые при использовании точных корней, являются все же не вполне точными, так как, например, неучет насыщения приводит к значительно большим ошибкам, чем возникающие при приближенном определении корней. Далее можно установить, что апериодическая составляющая, имеющая постоянную времени Т3, не имеет практического значения, так как эта постоянная времени составляет всего лишь примерно V7 периода и, таким образом, упомянутая составляющая тока почти полностью исчезает к моменту достижения током включения его максимальной величины.  

Перрона, может быть получена в процессе ортогона-лизации и нормировки Шмидта векторов, составляющих нормированную в точке I фундаментальную систему решений. Им же построен пример, демонстрирующий несостоятельность использования корней при решении задачи Коши однородных нестационарных линейных систем.  

Для применения способом опрыскивания свежие кор - ни могут быть измельчены с водой, и полученная молочная жидкость употребляется сразу же после изготовления. Этот способ практикуется коренным населением Малак-кского полуострова, но, поскольку он связан с использованием свежих корней, его практически невозможно применять в широких масштабах. Один из более обычных способов изготовления жидкости для опрыскивания состоит в простом размешивании тонко размолотых корней в воде. Наиболее широко ротеноидные материалы используют в виде эмульсий, получаемых разбавлением водой экстрактов. Сравнительно хорошими растворителями для ротеноидов являются также сероуглерод, этилформиат и этилацетат. Для обеспечения наиболее полной экстракции сухое растительное сырье, содержащее ротенон, размельчают и подвергают исчерпывающей экстракции одним из растворителей. Для применения экстракты гидрофильных растворителей могут быть разбавлены водой, и действующее начало выпадает в виде коллоидальных частиц.  

Авторы поставили перед собой цель систематизировать весь имеющийся в литературе материал, дать анализ существующих методов расчета экранной изоляции и сделать попытку создания инженерных методов расчета, которые позволили бы использовать для наиболее трудоемких вычислений ЭВМ. С помощью ЭВМ были просчитаны корни характеристических уравнений и постоянные коэффициенты некоторых нестационарных решений, связанных с прогревом экранной изоляции. Использование готовых корней и коэффициентов значительно упрощает методику расчета, делает ее доступной для инженеров-производственников.  

В случае, когда применение этих методов нецелесообразно, имеет смысл проанализировать возможности применения простейших по своей структуре итерационных методов: простой итерации, Зейделя, сверхрелаксации, наискорейшего спуска. Если решается отдельная задача, то вследствие простоты соответствующих программ применение этих методов может быть вполне целесообразным. Если применение этих методов требует больших затрат машинного времени, то следует проанализировать возможности применения более сложных по своей структуре методов: оптимального линейного итерационного процесса, метода с использованием корней многочлена Чебышева, метода сопряженных градиентов, итерационных методов, использующих спектрально эквивалентные операторы.  

Схема однодискового ротора.

Автором были рассчитаны частотные коэффициенты для вычисления трех первых частот собственных колебаний при различных соотношениях диаметров и длин вала и диска. В первом коэффициент at определялся по уравнениям (3) и (4), в которых не учитываются размеры диска. Во втором коэффициент at Pjj / ej определялся с использованием корней уравнений (6) и (7), в которых учтены относительные размеры диска.  

Если замещение парамагнитного иона диамагнитным является беспорядочным процессом, то вероятность того, что парамагнитный ион займет данный узел, равна просто парциальной концентрации с суммы, необходимые для расчета второго момента (Av2), например входящие в (9.57), пропорциональны с, так как для данного парамагнитного иона вероятность того, что любой заданный соседний узел будет занят другим парамагнитным ионом, просто пропорциональна с. На первый взгляд из этого следует, что ширина линии будет падать с разбавлением только как c / s, но практически ширина линии спадает быстрее. Причина заключается в том, что разбавление не уменьшает величины взаимодействия для любой пары ионов, а уменьшает только вероятность того, что такая пара появится. Таким образом, пара близких ионов с предполагаемым большим спин-спиновым взаимодействием будет давать вклад в линии, находящиеся на крыльях основной линии, и по мере уменьшения ширины линии они появляются как сателлиты основной линии. В суммы, фигурирующие при вычислении второго (и более высоких) моментов, наиболее удаленные сателлиты дают значительный вклад; такие вклады делают второй момент пропорциональным концентрации, но ошибка при использовании корня квадратного из второго момента (Av2) l / 2 в качестве меры ширины линии заключается в том, что при этом некорректно принимается, будто форма линии остается неизменной.  

Страницы:      1

Народная медицина издавна использует в своих целях растения. Зачастую наиболее полезными считаются их корневища. Ведь именно там цветы и травы запасают питательные вещества впрок. Поэтому целители испокон веков собирают и бережно хранят рецепты настоев и отваров из корней.

Корень одуванчика

Одуванчик, который принято считать сорняком в саду и на огороде, на самом деле является кладезем полезных веществ. В нем содержатся витамины группы В, аскорбиновая кислота и множество ценных микроэлементов. Иногда его корни, размолотые в мелкий порошок в кофемолке, используются как более полезный аналог кофе. Такой порошок может стать хорошим желчегонным и мочегонным средством.

Корень лопуха

Это растение тоже нетрудно встретить в средней полосе. Из корневища лопуха получается отличное средство для повышения иммунитета. С его помощью можно повысить сопротивляемость организма внешним факторам. А масло на основе лопуха укрепляет волосы и делает их сильными, помогая остановить выпадение и сохранить красоту.

Марьин корень

Марьиным корнем зовется корневище довольно красивого цветка под названием «пион уклоняющийся». Марьин корень избавляет от неврозов и расстройств сна, помогает при простуде и больном желудке. Настоем на основе этого лекарственного растения часто лечат проблемную кожу — на протяжении веков корневище пиона приходило на помощь девушкам и помогало им быть красивее.

Золотой корень

Корневище родиолы розовой в народе прозвали «золотым корнем» — за своеобразный бронзовый цвет. Его тоже знает каждый целитель и травник. Настойкой из этого корня успокаивают нервы, ее применяют при простуде и проблемах желудочно-кишечного тракта. Это средство является тонизирующим и помогает даже при довольно сильных проблемах с нервозностью. В стрессовой ситуации золотой корень тоже может оказаться очень кстати.

Калган-корень

Корневище лапчатки прямостоящей прозвали калган-корнем . Отвар из него тоже помогает от множества недугов. В состав этого растения входят вещества, помогающие останавливать кровь, поэтому при нарушениях кожных покровов настойка этого корня часто была незаменима. Она помогает при гнойниках, незаживающих мокнущих ранах, трудно поддающихся лечению ожогах. Лечат ей и другие недуги.

Корень подсолнуха

Семечки подсолнуха, которые многие из нас любят грызть, содержат в себе много полезных веществ. Но не меньше пользы может принести и корень этого растения. Например, с его помощью можно вылечиться при цистите. Достаточно сделать отвар из двухсот граммов вымытых и высушенных корней. Проварив их в трех литрах воды всего две минуты, получившуюся жидкость настаивают час, а затем пьют месяц по три раза в день.

Корень имбиря

Имбирь известен очень давно, причем не только как лекарство, но и как пряность. Народная медицина использует его для самых разных нужд. Например, в древнем Китае он был известен как хороший афродизиак. Имбирь можно применять для лечения простуды и кашля, как отхаркивающее и успокаивающее средство. Имбирный чай помогает вывести из организма вредные вещества и ускоряет выздоровление. А в качестве приправы он ускоряет процессы пищеварения и стимулирует аппетит.

Применяйте народные средства правильно. Собирая и заготавливая корни растений, помните о правилах и сроках сбора, а также используйте только проверенные рецепты. Тогда отвары и настойки будут целебными и принесут только пользу вам и вашим близким. Будьте всегда здоровы и не забывайте нажимать на кнопки и

30.08.2015 01:20

Имбирь — всем известное и любимое многими растение. Благодаря своим свойствам приправа из корня имбиря способствует правильному обмену веществ...

В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются на основе свойств корней.

Свойства корней

Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.

a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 . Оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k ;

a: b = a: b или в другой записи a b = a b , где a ≥ 0 , b > 0 ;

a 2 = a и его обобщение a 2 m = a m , где a – любое действительное число, а m – натуральное (при этом число 2 · m – четное).

Введем определение корня n -ой степени. Тут уже a , b , a 1 , a 2 , … , a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , . . . , n k - натуральные числа.

a · b n = a n · b n , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , его обобщение a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · . . . · a k n , где a 1 ≥ 0 , a 2 ≥ 0 , … , a k ≥ 0 .

a b n = a n b n , где a ≥ 0 , b > 0 .

a 2 · m 2 · m = a , a 2 m - 1 2 m - 1 = a , где a – любое действительное число.

a m n = a n · m , . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k , где a ≥ 0 .

a m n · m = a n , где a ≥ 0 .

a m n = a n m , где a ≥ 0 .

Преобразование выражений с числами под знаками корней

Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.

При указанных ограничениях на числа a , b и проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a , b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.

Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.

Пример 1

Выражение 4 · 9 , в котором числа 4 и 9 - положительные, можно заменить произведением корней 4 · 9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.

Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:

4 · 9 = 36 = 6 2 = 6 и 4 · 9 = 2 2 · 3 2 = 2 · 3 = 6 .

Мы можем заменить иррациональное выражение 1 + 4 · 9 выражением 1 + 4 · 9 и наоборот.

Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Предположим, что нам нужно упростить выражение 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 .

Решение

Здесь числа 3 , 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.

Корень 5 · 7 на базе свойства a · b = a · b можно представить как 5 · 7 , а корень 3 · 5 · 7 с использованием свойства a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k при k = 3 - как 3 · 5 · 7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0

Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0

Ответ: 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Нам необходимо преобразовать выражение 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 .

Решение

Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a 2 = a и a 2 m = a m , которые справедливы для любых значений a .

Решение будет иметь вид:

5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 + - 2 - 4 2 + (- 3) 3 = = 5 + - 2 - 16 + - 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18

Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 2 + (- 1) 2 · 2 2 - 4 2 · 2 + (- 1) 2 · 3 · 3 2 · 3 = = 5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3
А уже дальше применять свойства корней:
5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3 = = 5 + 2 - 4 2 + 3 3 = 5 + 2 - 16 + 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18

Ответ: 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = 18

С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.

Пример 4

Преобразуйте иррациональное выражение (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 .

Решение

Для решения используем свойство a 2 m - 1 2 m - 1 = a . Заменим первый множитель произведения - 2 3 3 числом − 2 :

(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12

Используя свойство. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k второй множитель 81 3 представим как 81 12 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:

(- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12

Заменим корень из дроби 3 64 6 на отношение корней вида 3 6 64 6 . Преобразуем полученное выражение 3 6 64 6 = 3 6 2 6 6 = 2 6 2 .

(- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 2 6 2 · 3 6 12

Произведем действия с двойками и в результате получим: - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.

Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12 , так как два корня имеют такой показатель, а корень 3 6 придется привести к этому показателю.

Используем равенство a m n · m = a n справа налево: 3 6 = 3 2 6 · 2 = 3 2 12 . С учетом полученного результата:

3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12

Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:

3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3

Запишем краткий вариант решения:

(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 6 2 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3

Ответ: (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = - 3

Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней ( a ≥ 0 и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство a m n · m = a n справедливо для неотрицательных a . Используя его, мы можем осуществить переход от 8 3 к 8 6 18 , так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, - 8 3 , то, применив свойство, мы заменим его на - 8 6 18 . Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили − 2 на 2 .

Действительно, - 8 3 = - 2 , а (- 8) 6 18 = (- 1) 6 · 8 6 18 = 8 6 18 = 8 3 = 2 . Получается, что при отрицательных a равенство a m n · m = a n может быть неверным.

Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство - a 2 · m + 1 = - a 2 · m + 1 , в котором − a – отрицательное число (при этом a – положительное).

Например, не получится заменить (- 2) · - 3 на - 2 · - 3 , так как − 2 и − 3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (- 2) · - 3 к 2 · 3 .

Переходить от корня - 8 3 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: - 8 3 = (- 8) 6 18 . Лучше провести вычисления следующим образом: - 8 3 = - 8 3 = - 8 6 18 .

Подведем промежуточные итоги:

Определение 1

Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:

• выбор подходящего свойства из списка;
• учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
• проведение преобразований, требующихся по условию задачи.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.

Например, используя формулу a · b = a · b , выражение x · x + 1 можно записать как x · x + 1 лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям x ≥ 0 и x + 1 ≥ 0 , так как указанная формула задана для a ≥ 0 и b ≥ 0 .

Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x · (x + 1) при x = − 2 . Подставив в выражение значение переменной, получим (- 2) · - 2 + 1 = 2 . Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x · x + 1 . Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла - 2 · - 2 + 1 .

Переход от выражения x · (x + 1) к выражению x · x + 1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.

Найти ОДЗ просто. Для выражения x · (x + 1) определить ОДЗ можно из неравенства x · (x + 1) ≥ 0 . Решение неравенства дает нам числовое множество (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞) . Определить ОДЗ для выражения x · (x + 1) можно через систему неравенств x ≥ 0 , x + 1 ≥ 0 . Получаем [ 0 , + ∞) . Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.

Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство a m n · m = a n для проведения замены x - 7 2 6 на x - 7 3 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x − 7 < 0 (x < 7) . Если взять х = 6 , то значение выражения x - 7 2 6 будет равно 1 , а значение выражения x - 7 2 6 будет равно - 1 . Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы a m n · m = a n обязательным условием является a ≥ 0 .

Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений. Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».

Пример 5

Упростите выражения 1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 .

Решение

Определим ОДЗ для переменной x , решив систему x 2 ≥ 0 x - 1 ≥ 0 . Получаем множество [ 1 , + ∞) . Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной x из [ 1 , + ∞) значения выражений x и x − 1 положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.

x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 2 6 · x 10 6 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · x 10 6 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 12 6 · (x - 1) 6 = x 2 · (x - 1) 3

x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 3 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x · x 5 3 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 6 3 · (x - 1) 6 = x 2 · x - 1 3

ОДЗ переменной x для выражения (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства a m n · m = a n , но оно дано для a ≥ 0 , а не для любого a .

Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
(x + 2) 2 6 · (x +) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) 2 · (x + 2) 10 6 = (x + 2) 12 6 = (x + 2) 2

(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) · x + 2 5 3 = (x + 2) 6 3 = x + 2 2

При условии x + 2 ≥ 0 , что то же самое x ≥ − 2 , можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x < − 2 это может привести к получению неверных результатов.

При x < − 2 , используя определение модуля числа, выражение x + 2 запишем как − | x + 2 | :
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = - x + 2 2 6 · (- x + 2) 5 3 = = (- 1) 2 · x + 2 2 6 · (- 1) 5 · x + 2 5 3 = = x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 5 3

Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения | x + 2 | неотрицательно при любых x . Получаем:

X + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 10 6 = = - x + 2 2 · x + 2 10 6 = - x + 2 12 6 - x + 2 2
или
- x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 3 · x + 2 5 3 = = - x + 2 · x + 2 5 3 = - x + 2 6 3 = - x + 2 2

Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для x < − 2 : - x + 2 2 = - (- (x + 2) 2 = - (- x - 2) 2 .

Ответ:

1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · (x - 1) 3 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 , x ≥ - 2 - (- x - 2) 2 , x < - 2

Пример 6

Упростите иррациональное выражение (x 2 - x - 2) 6 8 , представив его в виде корня четвертой степени.

Решение

ОДЗ переменной x состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени a m · n = (a m) n для того, чтобы записать выражение в виде ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня a m n · m = a n , которое задано для неотрицательных a . Это значит, что преобразование ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 4 имеет место для всех значений переменной x , которые будут удовлетворять условию (x 2 − x − 2) 3 ≥ 0 .

Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной x , удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству (x + 1) 3 · (x − 2) 3 ≥ 0 , затем применим метод интервалов и получим х ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) .

При остальных x из ОДЗ, то есть, при x ∈ (− 1 , 2) значения выражения (x 2 − x − 2) 3 отрицательны, и само выражение можно представить как − | (x 2 − x − 2) 3 | . Тогда при x ∈ (− 1 , 2) имеем

((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (- x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = = (- 1) 2 · x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = - (x 2 - x - 2) 3 4

Итак,
(x 2 - x - 2) 6 8 = = (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ (- ∞ , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) - (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ - 1 , 2

Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4 . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение: (x 2 - x - 2) 3 4 .

Ответ: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4

Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа a и b могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.

Вспомогательные результаты

Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами A и B мы обозначили произвольные числа или выражения корня.

Выражения, которые заменяем	Выражения, на которые заменяем
A · B n , n - нечетное A · B n , n - четное
A n · B n , n - любое натуральное	A · B n
A B n , n - нечетное A B n , n - четное
A n B n , n -любое натуральное	A B n
A n n , n - нечетное A n n , n -четное
A , n - нечетное A , n - четное	A n n A n n , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A n n < 0 * с м. с н о с к у
A m n , m и n - любые натуральные	A n · m
A n · m , m и n - любые натуральные	A m n
A m n · m , m - нечетное n - натуральное A m n · m , m - четное n - натуральное
A n , m - нечетное n - натуральное m - четное n - четное A n , m - четное n - нечетное	A m n · m A m n · m , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A m n · m , A < 0 * (с м. с н о с к у)
A m n , m - нечетное n - натуральное m - четное n - четное A m n , m - четное n - нечетное
A n m , m и n - любые натуральные	A m n
* A ≥ 0 и A < 0 следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения A неотрицательны или отрицательны соответственно.

Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных n корень A 1 · A 2 · . . . · A k n можно заменить произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n , а при четных n – произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n .

Используя данные таблицы корень x · (x + 1) на ОДЗ переменной x сразу можно записать как произведение корней вида x · x + 1 .

Точно также, на ОДЗ переменной x выражение x - 3 x - 5 4 можно записать в виде дроби x - 2 4 x - 5 4 .

Вот еще несколько примеров: x - 2 = (x - 2) 4 4 , x ≥ 2 - (x - 2) 4 4 , x < 2 , 1 - (x 2 - 5) 6 12 = 1 - x 2 - 5 и 5 · x 2 4 = 5 · x 4 2 .

Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:

(x 2 - x - 2) 6 8 = ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = x 2 - x - 2 3 4

Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных n выражение A · B n на всей ОДЗ переменных можно записать как A n · B n , а при четных n – как A n · B n .

Доказательство 1

Приведем доказательства: при нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения A · B n значения выражений A и B таковы, что:

• либо они оба неотрицательны,
• либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
• либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
• либо они оба отрицательны.

Используя свойство корней a · b = a · b , которое верно при a ≥ 0 , b ≥ 0 , мы можем сделать вывод, что A · B n = A n · B n .

Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:

A · B n = A · (- B) n = - A · B n = = - A n · B n = - A n · - B n = = - A n · - B n = A n · B n

В третьем случае, аналогично,

A · B n = - A · B n = - A · B n = = - A n · B n = - - A n · B n = = - - A n · B n = A n · B n

И в четвертом случае имеем:

A · B n = - A · - B n = A · B n = = A n · B n = - A n · - B n = = - A n · + B n = A n · B n

Так мы доказали, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения A · B n это выражение можно заменить на A n · B n .

Докажем справедливость второй части утверждения.

Доказательство 2

При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения A · B n значение выражения A · B неотрицательно. Поэтому A · B n можно записать как A · B n , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде A · B n , откуда в силу свойства корней имеем A n · B n . Что и требовалось доказать.

Для примера возьмем иррациональное выражение x · (x - 1) 3 . Область допустимых значений переменной x для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение x · (x - 1) 3 выражением x 3 · x - 1 3 на множестве R . Корень (x + 3) · (x - 5) 6 запишем в виде произведения корней x + 3 6 · x - 5 6 на области допустимых значений переменной x для исходного выражения, т.е. на множестве (− ∞ , − 3 ] ∪ [ 5 , + ∞) .

Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?

Доказательство 3

Можно доказать, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения A m n · m его можно заменить на A n . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение A m n · m можно переписать в виде A m n · m и дальше в силу свойств модуля как A m n · m . А по свойству корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 , имеет место равенство A m n · m = A n .

А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение A m n · m можно переписать как - A m n · m . Дальше имеют место такие переходы: - A m n · m = - 1 m · A m n · m = A m n · m = A n . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 . На этом доказательство завершено.

Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter