Как определить, под каким углом к берегу должна двигаться лодка? Катер должен пересечь реку шириной l 49
Катер должен пересечь реку шириной \(L = 56\) м и со скоростью течения \(u =1\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha\), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 56 с?
Ответ:
Задача №:
43791. Прототип №:
Катер должен пересечь реку шириной \(L = 21\) м и со скоростью течения \(u =0,3\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha\), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 70 с?
Ответ:
Задача №:
43793. Прототип №:
Катер должен пересечь реку шириной \(L = 63\) м и со скоростью течения \(u =1\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha\), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 63 с?
Ответ:
Задача №:
43795. Прототип №:
Катер должен пересечь реку шириной \(L = 49\) м и со скоростью течения \(u =0,7\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha\), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 70 с?
Ответ:
Задача №:
43797. Прототип №:
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3,2\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 80\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 240\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?
Ответ:
Задача №:
43799. Прототип №:
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 2,4\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 70\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 210\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
Ответ:
Задача №:
43801. Прототип №:
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 2,4\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 80\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 240\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
Ответ:
Задача №:
43803. Прототип №:
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 2,4\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 75\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 225\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
Ответ:
Задача №:
43805. Прототип №:
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 2\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 75\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 225\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?
Ответ:
Решаем ЕГЭ 227 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №227 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 227 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №227 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:
Задание 1
В школе №1 уроки начинаются в 8:30, каждый урок длится 45 минут, все перемены, кроме одной, длятся 10 минут, а перемена между вторым и третьим уроком-20 минут. Сейчас на часах 13:00. Через сколько минут прозвенит ближайший звонок с урока?
Для решения самый простой вариант составить расписание начала и окончания уроков:
1)8:30-9:15
1)9:25-10:10
1)10:30-11:15
1)11:25-12:10
1)12:20-13:05
То есть через 5 минут прозвенит звонок
Аналоги к этому заданию:
Задание 2
На рисунке жирными точками показан среднемесячный курс китайского юаня с января по август 2014 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - цена юаня в рублях. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность курса юаня в августе и июле. Ответ дайте в рублях.
Ответ: 0,27
Как видим по рисунку, угол опирается на диаметр окружности, а это значит, что треугольник прямоугольный, то есть ответ $$90^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 4
Аня и Таня выбирают по одному натуральному числу от 1 до 9 независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что сумма этих чисел делится на 3. Ответ сократите до сотых.
Ответ: 0,33
Пусть Аня выберет 1, Таня на это может выбрать 9 чисел. Аналогично с 2, 3 и так до 9. То есть всего комбинаций будет 9*9=81.
При этом в каждых девяти комбинациях 3 будет делиться на 3 (так как в числах, расположенных подряд каждое третье делится на три). То есть 9*3 =27
Тогда вероятность: $$P=\frac{27}{81}=0,(3)$$
Если округлить до сотых, то получим 0,33
Так как есть корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Так как справа есть переменная, а слева корень четной степени, то функция справа так же должна быть неотрицательной:
$$\left\{\begin{matrix}19+6x\geq 0\\ x+4\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\geq -\frac{19}{6}\\ x\geq -4\end{matrix}\right.$$
Далее возведем обе части в квадрат:
$$19+6x=x^{2}+8x+16 \Leftrightarrow $$$$x^{2}+2x-3=0 \Leftrightarrow $$$$x_{1}= x_{2}=-3$$.
Оба корня подходят в ОДЗ, следовательно, выбираем наименьший.
Если рассмотреть треугольник AOC, то он окажется равнобедренным, так как OA = OC - радиусы. В таком случае: $$\angle AOC = 180 -2*37=106^{\circ}$$. Но данный угол центральный, в то время как ∠ABC - вписанный, и тогда его градусная мера равна половине градусной меры ∠AOC, то есть 53
Производная отрицательно там, где функция убывает. На всех промежутках целую абсциссу имеет только одна точка (2;0)
Аналоги к этому заданию:
Задание 8
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Для решения этой задачи проще всего достроить недостающую часть до правильной четырехугольной пирамиды, найти объем этой пирамиды, и вычесть объем достроенной части:
$$V=\frac{1}{3}*6*6*3 - \frac{1}{3}*3*3*3=27$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 10
Катер должен пересечь реку шириной L=100 м так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Скорость течения реки u=0,5 м/с. Время в пути, измеряемое в секундах, равно $$t=\frac{L}{u}ctg \alpha$$ , где α-острый угол между осью катера и линией берега. Под каким минимальным углом α к берегу нужно направить катер, чтобы время в пути было не больше 200 с? Ответ дайте в градусах.
Подставим в уравнение имеющиеся данные:
$$200=\frac{100}{0,5}ctg \alpha$$
$$ctg \alpha = 1$$
$$\alpha = 45^{\circ}+2\pi*n$$, выберем наименьший, это 45 градусов
Аналоги к этому заданию:
Задание 11
Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть-со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть-со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Пусть 3S - полное расстояние. Тогда время на первом участке: $$t_{1}=\frac{S}{12}$$. На втором участке: $$t_{2}=\frac{S}{16}$$. На третьем участке время: $$t_{3}=\frac{S}{24}$$
Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени: $$v=\frac{3S}{\frac{S}{12}+\frac{S}{16}+\frac{S}{24}}=$$$$\frac{3S}{\frac{9S}{48}}=\frac{3S*48}{9S}=16$$
Найдем производную данной функции:$$y"=\frac{(2x+7)*x-(x^{2}+7x+49)}{x^{2}}=$$$$\frac{2x^{2}+7x-x^{2}-7x-49}{x^{2}}=$$$$\frac{x^{2}-49}{x^{2}}=0$$ Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, и растравим знаки производной:
Как видим, -7 - точка максимума, следовательно, на заданном по условию промежутке в этой точке и будет максимальное значение функции:
$$y(-7)=\frac{(-7)^{2}+7*(-7)+49}{-7}=-7$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 13
а) Решите уравнение: $$\cos 2x +3\sqrt{2}\sin x -3 =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$(\frac{\pi}{4}; \pi]$$
Ответ: А) $$(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{4}$$
А) Применим формулу косинуса двойного угла $$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$$: $$\cos 2x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$1-2\sin^{2}x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2\sin^{2}x-3\sqrt{2}+2=0$$
$$D=(3\sqrt{2})^{2}-4*4=18-16=2$$
Поскольку $$-1\leq \sin x\leq 1$$, то $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$$
$$\left[\begin{matrix}\sin x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}4{=\sqrt{2}}\\\sin x=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни уравнения на промежутке $$(\frac{\pi}{4};\pi]$$ с помощью тригонометрического круга: $$x=\frac{3\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 14
Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 равна $$10\sqrt{3}$$ , а высота СС 1 равна 7,5. На ребре В 1 С 1 отмечена точка Р так, что В 1 Р:РС 1 =1:3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и А 1 С 1 соответственно. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.
А) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$
Б) Найдите расстояние от точки М до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$\frac{9\sqrt{5}}{2}$$
А) 1) $$a\cap (ABC)=QT\left |\right |AC$$, $$a\cap (A_{1}B_{1}C_{1})=PN\left |\right |A_{1}C_{1}$$, т.к. $$a\left |\right |AC. a\cap (BGM)=EF$$, $$BM\cap EF=S$$(E и F-середины PN и QT). BM-наклонная, BG-её проекция, $$BG\perp QT\Rightarrow$$ по т. о трёх перпендикулярах $$BM\perp QT(1)$$
2) $$\angle SBF =\beta$$ , $$\angle BFS=\gamma$$ , $$\angle BSF=\varphi$$; $$BG=AB*\sin 60=10\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=15$$; $$tg\beta =\frac{MG}{BG}=\frac{7,5}{15}=\frac{1}{2}$$; $$ctg\gamma =\frac{\frac{1}{2}BF}{BB_{1}}=$$$$\frac{1}{4}*\frac{15}{7,5}=$$$$\frac{1}{2}=tg\beta \Rightarrow$$ $$\beta +\gamma =90$$, тогда $$\varphi =90$$, $$BM\perp EF(2)$$ . Из (1) и (2) $$\Rightarrow$$ $$BM\perp \alpha$$
Б) 1) из п. а) $$BM\perp \alpha \Rightarrow$$ $$p(Ma)=MS$$
2) $$\Delta ESM\sim \Delta FSB$$ по двум углам $$\Rightarrow$$ $$\frac{MS}{BS}=\frac{ME}{BF}=\frac{3}{2}$$, тогда $$MS=\frac{3}{5}BM$$; $$BM=\sqrt{BG^{2}+MG^{2}}=\sqrt{225+\frac{225}{4}}=\frac{15\sqrt{5}}{2}$$, $$MS=\frac{3}{5}*\frac{15\sqrt{5}}{2}=\frac{9\sqrt{5}}{2}$$
Область допустимых значений неравенства задаётся системой:
$$\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>0\\10-x^{2}\neq 1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10} Решение: $$\log_{10-x^{2}}(\frac{16}{5}x-x^{2})<1\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>1\\\frac{16}{5}x-x^{2}<10-x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<10-x^{2}<1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>10-x^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-3 С учетом области допустимых значений неравенства получаем $$x \in (0;3)\cup (\frac{25}{8};\sqrt{10})$$ Аналоги к этому заданию:
Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса $$2\sqrt{5}$$ , отсекающая от прямой ВС отрезок $$4\sqrt{5}$$ и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F. А) Докажите AF=BF Б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF=2. Ответ: $$\frac{5\sqrt{5}}{3}$$ По условию $$OA=R=2\sqrt{5}; BK=4\sqrt{5}$$. Рис. 2 может быть использован только для доказательства п. а) т.к. по условию $$BF=2$$, $$OA=2\sqrt{5}$$, т.е. BF а) AC-касательная $$\Rightarrow$$ $$OA\perp AC, BF\perp OB, OB=R\Rightarrow$$ BF-касательная и по свойству касательных $$AF=BF$$ б) 1) Пусть $$FC=x, BC=y$$, тогда $$AC=x+2$$, $$OC=y+2\sqrt{5}$$ 2) $$\Delta FBC\sim OAC$$ по двум углам $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{BF}{OA}=\frac{BC}{AC}\\\frac{BF}{OA}=\frac{FC}{OC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{y}{x+2}\\\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{x}{y+2\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{x+2}{\sqrt{5}}\\y=\sqrt{5}(x-2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.$$ $$FC=3, BC=\sqrt{5}, AC=5$$, $$\frac{S_{\Delta ABC}}{s_{\Delta BFC}}=\frac{AC}{FC}=\frac{5}{3}$$; $$S_{\Delta BFC}=\frac{1}{2}BC*BF=\sqrt{5}$$ тогда, $$S_{\Delta ABC}=\frac{5}{3}$$, $$S_{\Delta BFC}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$$ Аналоги к этому заданию:
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Вася может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Вася может какое‐то время снимать квартиру (стоимость аренды-15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится? Ответ: 12,5 Квартира стоит 3 (млн. рублей)=3000 (тыс. рублей), кредит берется на 20 (лет)=240 (месяцев). Задачу решим по действиям: 1) 3000*2,8=8400 (тыс. руб.)-общая сумма выплат банку; 2) 8400:240=35(тыс. руб.)-ежемесячный платеж банку; 3) 35-15=20(тыс. руб.)-сумма, которую Вася сможет откладывать каждый месяц после уплаты аренды; 4) 3000:20=150(месяцев)=12,5(лет)-потребуется Васе, чтобы накопить на квартиру. Аналоги к этому заданию:
Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|}\\49y^{2}+x^{2}+4a=2x-1\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения. Ответ: $$-\frac{1}{4}; -\frac{1}{32}$$ Перепишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left | x-1 \right |}+\sqrt{7\left | y \right |}=1\\\left | x-1 \right |^{2}+(7\left | y \right |)^{2}=-4a\end{matrix}\right.$$ Пусть $$\sqrt{\left | x-1 \right |}=m\geq 0$$; $$\sqrt{7\left | y \right |}=n\geq 0$$ Тогда система примет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=-4a\end{matrix}\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение: 1) Пусть $$m_{0}\neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=m_{0}^{2}\\7\left | y \right |=n_{0}^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=n_{0}^{2}\\7\left | y \right |=m_{0}^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений, что не удовлетворяют условию задачи. 2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1; \frac{1}{7})$$, $$(1; -\frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$ 3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$\left\{\begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4a\end{matrix}\right.$$., откуда $$m_{0}=\frac{1}{2}$$, $$a=-\frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид: $$\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=\frac{1}{4}\\7\left | y \right |=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1\frac{1}{4} ;\frac{1}{28})$$, $$(1\frac{1}{4}; -\frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4}; \frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4};-\frac{1}{28})$$. Докажем, что при $$a=-\frac{1}{4}$$ и $$a=-\frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет. 1. При $$a=-\frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=1\end{matrix}\right.$$. Если $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, то $$m,n \in (0;1)$$ и $$\left\{\begin{matrix}m^{4} Тогда $$m^{4}+n^{4} 2. При $$a=-\frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$ . Пусть$$\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2}+t\\n=\frac{1}{2}-t\end{matrix}\right.$$ , тогда $$\left\{\begin{matrix}m^{4}=(\frac{1}{2}+t)^{2}=\frac{1}{16}+4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}+4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\\n^{4}=(\frac{1}{2}-t)^{4}=\frac{1}{16}-4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}-4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\end{matrix}\right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем: $$\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=\frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-\frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию. Ответ: 1,3,(5);нет;8 Обозначим разности из условия задачи через $$s_{1}$$ и $$s_{2}$$, n-й член прогрессии - через $$x_{n}$$, сумму первых n ее членов - через $$S_{n}$$. Как известно, квадрат суммы любого числа слагаемых равен сумме квадратов и различных удвоенных произведений слагаемых. Поэтому: $$s_{1}=2(x_{1}x_{2}+...+x_{n-1}x_{n})$$, $$s_{2}=2(x_{1}x_{2}+..+x_{n}x_{n+1})$$. В $$s_{2}$$ входят все слагаемые из $$s_{1}$$ и удвоенные произведения $$x_{n+1}$$ на все члены прогрессии от $$x_{1}$$ до $$x_{n}$$. Значит, $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}(x_{1}+..x_{n})=2x_{n+1}S_{n}(1)$$ А) Ответ: 1,3,(5).Если $$s_{2}-s_{1}=40, x_{n+1}S_{n}=20$$. Последнее равенство выполняется, например, для прогрессии 1,3,(5). Б) Ответ: не могла. В условиях задачи наименьшее значение в (1) при n=13 равно $$2*13(0+1+..+12)=2028>1768$$ В) Ответ: 8. Из формулы (1) получаем: $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}\frac{(x_{1}+x_{n})n}{2}=x_{n+1}(x_{1}+x_{n})n=1768$$. Следовательно, $$1768=2^{3}*13*17$$ делится на n. Из пункта Б) $$n<13$$ ; наибольший из таких делителей равен 8 . Проверим это значение. Если $$n=8$$, $$x_{9}(x_{1}+x_{8})=13*17$$. Возможны следующие два варианта 1. $$x_{9}=17\Rightarrow$$ $$x_{8}\leq 13\Rightarrow$$ разность прогрессии $$d\geq 4\Rightarrow$$ $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 17-32<0$$ 2. $$x_{9}=13\Rightarrow$$ при $$d\geq 2$$ будем иметь: $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 13-16<0$$. Значит, $$d=1$$. Конечная прогрессия 5,6,7,8,9,10,11,12 удовлетворяет условию задачи. 28010. Катер должен пересечь реку шириной L =100 м и со скоростью течения u = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением:
α - острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с.
Для того, чтобы представить процесс движения построим эскиз:
Если катер отправится к пункту назначения под углом 90 градусов к берегу, то его снесёт течением, и в пункт назначения он не прибудет. Поэтому необходимо его направить под некоторым углом α к берегу навстречу течению реки. Нам необходимо определить наименьший угол α, при котором t ≤ 200.
Задача сводится к решению неравенства:
Так как 0 0 < α < 90 0 , то рассматриваем решение неравенства только для первой четверти (то есть, периодичность котангенса не учитываем). Изобразим решение неравенства графически:
Определение котангенса: котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилегающего катета к противолежащему.
Рассмотрим треугольник АОВ. Котангенс угла АОВ равен единице при 45 градусах, и будет меньше единицы тогда, когда катет АО будет меньше катета ОВ. Это будет происходить при увеличении угла АОВ от 45 до 90 градусов, значит 45 0 < α < 90 0 .
Итак, плыть нужно под минимальным углом 45 градусов относительно берега (выбираем наименьший угол из интервала).
Ответ: 45
Задание 16
Задание 17
Задание 18
