Где используется последовательность Фибоначчи? Последовательность фибоначчи и принципы золотого сечения

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.

Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.

Очевидно, что фермер имеет одного кролика в первый месяц и одного кролика – во второй месяц. На третий месяц будет уже два кролика, на четвертый – три и т.д. Обозначим количество кроликов в n месяце как . Таким образом,
,
,
,
,
, …

Можно построить алгоритм, позволяющий найти при любомn .

Согласно условию задачи общее количество кроликов
вn +1 месяце раскладывается на три составляющие:

одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве

;

Таким образом, получим

. (8.1)

Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .

Если принять
и
, то с помощью формулы (8.1) можно определить все остальные числа Фибоначчи. Формула (8.1) называется рекуррентной формулой (recurrence – «возвращение» на латыни).

Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?

Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.

В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Для того чтобы ответить на заданный вопрос при произвольном n , обозначим количество вариантов как , и попробуем определить
по известными
. Если мы стартуем с единичного шага, то имеем комбинаций для оставшихсяn ступенек. Если стартуем с двойного шага, то имеем
комбинаций для оставшихсяn –1 ступенек. Общее количество вариантов для n +1 ступенек равно

. (8.2)

Полученная формула как близнец напоминает формулу (8.1). Тем не менее, это не позволяет отождествлять количество комбинаций с числами Фибоначчи. Мы видим, например, что
, но
. Однако имеет место следующая зависимость:

Это справедливо для n = 1, 2, и также справедливо для каждого n . Числа Фибоначчи и количество комбинаций вычисляются по одной и той же формуле, однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.

Пример 8.2. Этотпример имеет практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования. Найдем число всех двоичных слов длины n , не содержащих несколько нулей подряд. Обозначим это число через . Очевидно,
, а слова длины 2, удовлетворяющие нашему ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
. Пусть
– такое слово изn символов. Если символ
, то
может быть произвольным (
)-буквенным словом, не содержащим несколько нулей подряд. Значит, число слов с единицей на конце равно
.

Если же символ
, то обязательно
, а первые
символа
могут быть произвольными с учетом рассматриваемых ограничений. Следовательно, имеется
слов длины n с нулем на конце. Таким образом, общее число интересующих нас слов равно

С учетом того, что
и
, полученная последовательность чисел – это числа Фибоначчи.

Пример 8.3. В примере 7.6 мы нашли, что число двоичных слов постоянного веса t (и длиной k ) равно . Теперь найдем число двоичных слов постоянного весаt , не содержащих несколько нулей подряд.

Рассуждать можно так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах. В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями, в каждом из которых находится одна или несколько единиц. Предполагается, что
. В противном случае нет ни одного слова без рядом стоящих нулей.

Если из каждого промежутка удалить ровно по одной единице, то получим слово длины
, содержащеенулей. Любое такое слово может быть получено указанным образом из некоторого (и притом только одного)k -буквенного слова, содержащего нулей, никакие два из которых не стоят рядом. Значит, искомое число совпадает с числом всех слов длины
, содержащих ровнонулей, т.е. равно
.

Пример 8.4. Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого. Символ
обозначаетнаименьшее целое число, большее или равное . Например, если
, то
; а если
, то
ceil («потолок»). Также встречается символ
, который обозначаетнаибольшее целое число, меньшее или равное . По-английски эту операцию называютfloor («пол»).

Если
, то
. Если
, то
. Если
, то
.

Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:

И оно действительно выполняется:

Здесь мы использовали полученную ранее формулу (4.4):
.

Сумма чисел Фибоначчи

Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:

Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:

Эта сумма должна быть равна
.

Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).

Формула для чисел Фибоначчи

Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле

Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:

Мы видим, что отношение этих чисел колеблется около значения 1.618 (если игнорировать несколько первых значений). Этим свойством числа Фибоначчи напоминают члены геометрической прогрессии. Примем
, (
). Тогда выражение

преобразуется в

которое после упрощений выглядит так

Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:

Теперь можем записать:

(где c является константой). Оба члена и не дают чисел Фибоначчи, например
, в то время как
. Однако разность
удовлетворяет рекуррентному уравнению:

Для n =0 эта разность дает, то есть:
. Однако при n =1 мы имеем
. Чтобы получить
, необходимо принять:
.

Теперь мы имеем две последовательности: и
, которые начинаются с одинаковых двух чисел и удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле. Они должны быть равны:
. Теорема доказана.

При возрастании n член становится очень большим, в то время как
, и роль членав разности сокращается. Поэтому при больших n приближенно можем записать

Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).

Отношение
называется золотым сечением , его используют за пределами математики (например, в скульптуре и архитектуре). Золотым сечением является отношение между диагональю и стороной правильного пятиугольника (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали

Для обозначения золотого сечения принято использовать букву
в честь известного афинского скульптора Фидия.

Простые числа

Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.

Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.

Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма, позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является решето Эратосфена (3 век до нашей эры). Этот метод заключается в отсеивании (например, путем зачеркивания) тех целых чисел заданной последовательности
, которые делятся хотя бы на одно из простых чисел, меньших
.

Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .

Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :

при
. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда, откуда следует тождество Эйлера:

Так как при
ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида.

Русский математик П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу, определяющую пределы, в которых заключено число простых чисел
, не превосходящихX :

где
,
.

Вы слышали когда-нибудь, что математику называют «царицей всех наук»? Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика остается для вас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки.

Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики.

Представляем вам числа Фибоначчи

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Записать это можно так:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений n . При этом последовательность в таком случае является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях.

Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в этом случае выглядит так:

F n = F n+1 - F n+2 или иначе можно так: F -n = (-1) n+1 Fn .

То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно древнеиндийским математикам задолго до того, как ими стали пользоваться в Европе. А с этим названием вообще один сплошной исторический анекдот. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи – это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько столетий после его смерти. Но давайте обо всем по порядку.

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи

Сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи (которые тогда, напомним, еще так не назывались). Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год).

Путешествую вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей (а они в те времена были в этом деле, да и во многих других науках, одними из лучших специалистов). Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.

Как следует осмыслив все прочитанное и подключив собственный пытливый ум, Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:

«Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
«Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
«Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).

Был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач.

О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.

Фибоначчи и его задачи

После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия. Мы с вами рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.

Кролики – не только ценный мех

Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.

Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.

Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.

В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.
Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.
Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.

Число кроликов в n -ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: F n = F n-1 + F n-2 .

Таким образом, получаем рекуррентную (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.

Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.

Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).

Говоря языком математики, «предел отношений a n+1 к a n равен золотому сечению» .

Еще задачи по теории чисел

Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.

Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.

Пояснение о рекурсии

Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя.

Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре.

Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n- е число равно (n – 1) + (n – 2) .

Пояснение о золотом сечении

Золотое сечение – деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и вся величина (например, сумма двух отрезков) к большей части.

Первое упоминание о золотом сечении можно встретить у Евклида в его трактате «Начала» (примерно 300 лет до н.э.). В контексте построения правильного прямоугольника.

Привычный нам термин в 1835 году ввел в оборот немецкий математик Мартин Ом.

Если описывать золотое сечение приблизительно, оно представляет собой пропорциональное деление на две неравных части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении золотое сечение представляет собой число 1,6180339887 .

Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других живописцев Ренессанса), архитектуре, кинематографе («Броненосец «Потемкин» С. Эзенштейна) и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение – наиболее эстетичная пропорция. Такое мнение популярно и сегодня. Хотя по результатам исследований визуально большинство людей не воспринимают такую пропорцию наиболее удачным вариантом и считают слишком вытянутой (непропорциональной).

Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
Отношение с к а = 1, 618.
Отношение с к b = 2,618

А теперь вернемся к числам Фибоначчи. Возьмем два следующих друг за другом члена из его последовательности. Разделим большее число на меньшее и получим приблизительно 1,618. А теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618.

Вот пример: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618

Кстати, если вы попробуете проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Ну, почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично.

И для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом. Можете убедиться в этом сами!

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. А ведь мы уже знаем, что за число 1,618, верно?

Например, возьмем два последовательных члена ряда Фибоначчи – 8 и 13 – и построим прямоугольник со следующими параметрами: ширина = 8, длина = 13.

А затем разобьем большой прямоугольник на меньшие. Обязательное условие: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи. Т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников.

Так, как это выполнено на этом рисунке (для удобства фигуры подписаны латинскими буквами).

Кстати, строить прямоугольники можно и в обратном порядке. Т.е. начать построение с квадратов со стороной 1. К которым, руководствуясь озвученным выше принципом, достраиваются фигуры со сторонами, равными числам Фибоначчи. Теоретически продолжать так можно бесконечно долго – ведь и ряд Фибоначчи формально бесконечен.

Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим логарифмическую спираль. Вернее, ее частный случай – спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.

Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.

Любопытно, что и спираль ДНК подчиняется правилу золотого сечения – соответствующую закономерность можно усмотреть в интервалах ее изгибов.

Такие удивительные «совпадения» не могут не будоражить умы и не порождать разговоры о неком едином алгоритме, которому подчиняются все явления в жизни Вселенной. Теперь вы понимаете, почему эта статья называется именно так? И двери в какие удивительные миры способна открыть для вас математика?

Числа Фибоначчи в живой природе

Связь чисел Фибоначчи и золотого сечения наводит на мысли о любопытных закономерностях. Настолько любопытных, что возникает соблазн попробовать отыскать подобные числам Фибоначчи последовательности в природе и даже в ходе исторических событий. И природа действительно дает повод для подобного рода допущений. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?

Примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи:

порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);

расположение семян подсолнуха (семечки располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);

расположение чешуек сосновых шишек;
лепестки цветов;
ячейки ананаса;
соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке (приблизительно) и т.д.

Задачи по комбинаторике

Числа Фибоначчи находят широкое применение при решении задач по комбинаторике.

Комбинаторика – это раздел математики, который занимается исследованием выборки некого заданного числа элементов из обозначенного множества, перечислением и т.п.

Давайте рассмотрим примеры задач по комбинаторике, рассчитанных на уровень старшей школы (источник - http://www.problems.ru/).

Задача №1:

Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?

Число способов, которыми Леша может подняться на лестницу из n ступенек, обозначим а n. Отсюда следует, что a 1 = 1, a 2 = 2 (ведь Леша прыгает либо на одну, либо через две ступеньки).

Оговорено также, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступенек. Предположим, с первого раза он прыгнул на две ступеньки. Значит, по условию задачи, ему нужно запрыгнуть еще на n – 2 ступеньки. Тогда количество способов закончить подъем описывается как a n–2 . А если считать, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, тогда количество способов закончить подъем опишем как a n–1 .

Отсюда получаем такое равенство: a n = a n–1 + a n–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).

Раз мы знаем a 1 и a 2 и помним, что ступенек по условию задачи 10, вычисли по порядку все а n : a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Ответ: 89 способов.

Задача №2:

Требуется найти количество слов длиной в 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.

Обозначим за a n количество слов длиной в n букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не содержат двух букв «б» подряд. Значит, a 1 = 2, a 2 = 3.

В последовательности a 1 , a 2 , <…>, a n мы выразим каждый следующий ее член через предыдущие. Следовательно, количество слов длиной в n букв, которые к тому же не содержат удвоенной буквы «б» и начинаются с буквы «а», это a n–1 . А если слово длиной в n букв начинается с буквы «б», логично, что следующая буква в таком слове – «а» (ведь двух «б» быть не может по условию задачи). Следовательно, количество слов длиной в n букв в этом случае обозначим как a n–2 . И в первом, и во втором случае далее может следовать любое слово (длиной в n – 1 и n – 2 букв соответственно) без удвоенных «б».

Мы смогли обосновать, почему a n = a n–1 + a n–2 .

Вычислим теперь a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, <…>, a 10 = a 9 + a 8 = 144. И получим знакомую нам последовательность Фибоначчи.

Ответ: 144.

Задача №3:

Вообразите, что существует лента, разбитая на клетки. Она уходит вправо и длится бесконечно долго. На первую клетку ленты поместим кузнечика. На какой бы из клеток ленты он ни находился, он может перемещаться только вправо: или на одну клетку, или на две. Сколько существует способов, которыми кузнечик может допрыгать от начала ленты до n -ой клетки?

Обозначим число способов перемещения кузнечика по ленте до n -ой клетки как a n . В таком случае a 1 = a 2 = 1. Также в n + 1 -ую клетку кузнечик может попасть либо из n -ой клетки, либо перепрыгнув ее. Отсюда a n + 1 = a n – 1 + a n . Откуда a n = F n – 1 .

Ответ: F n – 1 .

Вы можете и сами составить подобные задачи и попробовать решить их на уроках математики вместе с одноклассниками.

Числа Фибоначчи в массовой культуре

Разумеется, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимание. Есть все же в этой строго выверенной закономерности что-то притягательное и даже таинственное. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «засветилась» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.

Мы вам расскажем про некоторые из них. А вы попробуйте поискать сами еще. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях – нам ведь тоже любопытно!

Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, при помощи которого главные герои книги открывают сейф.
В американском фильме 2009 года «Господин Никто» в одном из эпизодов адрес дома представляет собой часть последовательности Фибоначчи – 12358. Кроме этого, в другом эпизоде главный герой должен позвонить по телефонному номеру, который по сути – та же, но слегка искаженная (лишняя цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик, страдающий аутизмом, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. В том числе посредством чисел Фибоначчи. И управлять этими событиями также посредством чисел.
Разработчики java-игры для мобильных телефонов Doom RPG поместили на одном из уровней секретную дверь. Открывающий ее код – последовательность Фибоначчи.
В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Обман зрения». Восьмой трек носит название «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. На каждый из девяти последовательных членов приходится соответствующее число строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Тронулся в путь состав

1 Щёлкнул один сустав

1 Дрогнул один рукав

2 Всё, доставайте стафф

Всё, доставайте стафф

3 Просьбой о кипятке

Поезд идёт к реке

Поезд идёт в тайге <…>.

лимерик (короткое стихотворение определенной формы – обычно это пять строк, с определенной схемой рифмовки, шуточное по содержанию, в котором первая и последняя строка повторяются или частично дублируют друг друга) Джеймса Линдона также использует отсылку к последовательности Фибоначчи в качестве юмористического мотива:

Плотная пища жён Фибоначчи

Только на пользу им шла, не иначе.

Весили жёны, согласно молве,

Каждая - как предыдущие две.

Подводим итоги

Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной и вообще».

Пользуйтесь формулой для чисел Фибоначчи при решении задач по комбинаторике. Вы можете опираться на примеры, описанные в этой статье.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Расскажет о понятии ряд Фибоначчи и как оно связанно с теорией волн, а также приведет опровержение применимости ряда к природным процессам.
, которую мастер разработал в 30-х годах прошлого века – это один из самых захватывающих разделов . Сама по себе она была выделена в новую главу науки, которая изучает графики. В её основе лежат разработки других специалистов в области теории (советую прочитать — книгу под авторством ).
Так, например, великого итальянского математика Леонардо Фибоначчи причисляют к ученым (о котором я уже говорил в статьях — , ), создавшим основу для теории Элиота.

Цифровой ряд чисел Фибоначчи — золотое сечение и коэффициенты или уровни коррекции + видео. Числа Фибоначчи в природе.

Специалист жил ещё в XIII веке. Ученый опубликовал труд, который называется «Книга вычислений». Эта книга представила Европе важное для тех времен и не только открытие – десятичную систему счисления. Эта система ввела привычные для нас числа от нуля до девяти в обращение.

Появление этой системы было первым важным достижений Европы со времён падения Рима. Фибоначчи сохранил числовую науку для средневековья. А также заложил глубокие основы для развития других наук, таких как высшая математика, физика, астрономия, машиностроение.

Смотреть видео

Как появились числа и их производные

Решая прикладную задачу, Леонардо наткнулся на любопытный ряд чисел Фибоначчи, вначале которого находятся две единицы.

Каждый последующий член – это сумма двух предыдущих. Самое любопытное, что числовой ряд Фибоначчи — примечательная последовательность тем, что если любой член поделить на предыдущий, то получится число, которое близко к 0,618. Этому числу дали имя «Золотое сечение ».

Оказалось, что это число было известно человечеству очень давно. Например, в древнем Египте строили пирамиды с его использованием, а древние греки возводили по нему свои храмы. Леонардо да Винчи показал, как строение тела человека подчиняется этом числу.

Природа применяет числа из ряда Фибоначчи в своих наиболее сокровенных и продвинутых областях. От атомных структур и других мелких форм, как молекулы ДНК и микрокапилляры мозга до огромных, как планетарные орбиты и структуры галактик. Ряд примеров настолько велик, что следует утверждать, что в природе действительно присутствует некий основной закон пропорций.

Поэтому не удивительно, что ряд Фибоначчи и золотое сечение пробралось и на биржевые графики. И не одно число 0,618, но и его производные.

Если число золотого сечения возвести в первую, вторую, третью и четвертую степень и вычесть результат из единицы, то получиться новый ряд, который носит название «коэффициенты коррекции Фибоначчи ». Осталось только добавить отметку пять десятых – это пятидесятипроцентная .

Однако, это не все, что можно сделать с золотым сечением. Если единицу разделить на 0,618 то получается 1,618, если возведем в квадрат, то у нас получится 2,618, если возведем в куб, то получим число 4,236. Это коэффициенты расширения Фибоначчи. Тут не хватает только числа 3,236, которое было предложено Джоном Мёрфи.

Что думают о последовательности специалисты

Кто-то скажет, что эти числа уже знакомы, потому что они используются в программах технического анализа, для определения величины коррекции и расширения. Кроме того эти же ряды играют важную роль в волновой теории Элиота. Они являются его числовой основой.

Наш эксперт Николай Проверенный портфельный менеджер инвестиционной компании Восток.

— Николай, как вы думаете, случайно ли появление чисел Фибоначчи и его производных на графиках различных инструментов? И можно ли сказать: «Ряд Фибоначчи практическое применение» имеет место?
— К мистике отношусь плохо. А на графиках биржи тем более. У всего есть свои причины. в книге «Уровни Фибоначчи» красиво рассказывал, где появляется золотое сечение, что не стал удивляться тому, что оно появилось на графиках котировок биржи. А зря! Во многих примерах, которые он привел, часто появляется число Пи. Но его почему-то нет в ценовых соотношениях.
— То есть вы не верите в действенность волнового принципа Элиота?
— Да нет же, не в этом дело. Волновой принцип – это одно. Численное соотношение – это другое. А причины их появления на ценовых графиках – третье
— Каковы на ваш взгляд причины появления золотого сечения на биржевых графиках?
— Правильный ответ на этот вопрос может быть в силах заслужить Нобелевскую премию по экономике. Пока мы можем догадываться об истинных причинах. Они явно не в гармонии природы. Моделей биржевого ценообразования много. Они не объясняют обозначенный феномен. Но не понимание природы явления не должно отрицать явление как таковое.
— А если когда – либо этот закон будет открыт, то сможет ли это разрушить биржевой процесс?
— Как показывает та же теория волн закон изменения биржевых цен – это чистая психология. Мне кажется, знание данного закона ничего не изменит и не сможет разрушить биржу.

Материал предоставлен блогом веб-мастера Максима.

Совпадения основ принципов математики в самых разных теориях кажется невероятным. Может быть это фантастика или подгонка под конечный результат. Поживем — увидим. Многое из того, что раньше считалось необычным или было не возможно: освоение космоса, например, стало привычным и никого не удивляет. Также и волновая теория, может быть непонятная, со временем станет доступней и понятней. То, что раньше было не нужным, в руках аналитика с опытом станет мощным инструментом прогнозирования дальнейшего поведения .

Числа Фибоначчи в природе.

Смотреть

А теперь, давайте поговорим о том, как можно опровергнуть то, что цифровой ряд Фибоначчи причастен к каким-либо закономерностям в природе.

Возьмем любые другие два числа и выстроим последовательность с той же логикой, что и числа Фибоначчи. То есть, следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих. Для примера возьмем два числа: 6 и 51. Теперь выстроим последовательность, которую завершим двумя числами 1860 и 3009. Заметим, что при делении этих чисел, мы получаем число близкое золотому сечению.

При этом числа, которые получались при делении других пар уменьшались от первых к последним, что позволяет утверждать, что если этот ряд продолжать бесконечно, то мы получим число равное золотому сечению.

Таким образом, числа Фибоначчи ни чем сами по себе не выделяются. Существует другие последовательности чисел, которых бесконечное множество, что дают в результате тех же операций золотое число фи.

Фибоначчи не был эзотериком. Он не хотел вложить никой мистики в числа, он просто решал обыкновенную задачу о кроликах. И написал последовательность чисел, которые вытекали из его задачи, в первый, второй и другие месяца, сколько будет кроликов после размножения. В течение года он получил ту самую последовательность. И не делал отношений. Никакой золотой пропорции, Божественном отношении речи не шло. Все это было придумано после него в эпоху Возрождения.

Перед математикой достоинства Фибоначчи огромны. Он от арабов перенял систему чисел и доказал её справедливость. Была тяжелая и долгая борьба. От римской системы счисления: тяжелой и неудобной для счета. Она исчезла после французской революции. Никакого отношения именно к золотому сечению Фибоначчи не имеет.

Спиралей бесконечно много, наиболее популярны: спираль натурального логарифма, спираль Архимеда, гиперболическая спираль.

А теперь давайте взглянем на спираль Фибоначчи. Данный кусочно-составной агрегат складывается из нескольких четвертей окружностей. И не является спиралью, как таковой.

Вывод

Как бы долго мы не искали подтверждение или опровержение применимости ряда Фибоначчи на бирже, такая практика существует.

Огромные массы людей действуют согласно линейке Фибоначчи, которая находится во многих пользовательских терминалах. Поэтому хотим мы или нет: числа Фибоначчи оказывают влияние на , а мы можем воспользоваться этим влиянием.

Экология жизни. Познавательно: Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности...

Числа Фибоначчи - числовая последовательность, где каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,.. 422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики.

В 1997 году несколько странных особенностей ряда описал исследователь Владимир Михайлов, который был убежден, что Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности .

Замечательным свойством числового ряда Фибоначчи является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) - основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях.

Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью.

Числа Фибоначчи привлекли математиков своей особенностью возникать в самых неожиданных местах. Замечено, например, что отношения чисел Фибоначчи, взятых через одно, соответствуют углу между соседними листьями на стебле растений, точнее, они говорят, какую долю оборота составляет этот угол: 1/2 - для вяза и липы, 1/3 - для бука, 2/5 - для дуба и яблони, 3/8 - для тополя и розы, 5/13 - для ивы и миндаля и т. д. Эти же числа вы найдете при подсчете семян в спиралях подсолнуха, в количестве лучей, отражающихся от двух зеркал, в количестве вариантов маршрутов переползания пчелы от одной соты к другой, во многих математических играх и фокусах.

В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так, спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!..

У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары) источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом...

Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд, а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц.

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию».

Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам - законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи.

Все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы .

Цифровой код развития цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (например, 15 есть 1+5=6 и т.д.). Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, Михайлов получил следующий ряд этих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, затем все повторяется 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. и повторяется вновь и вновь... Этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, каждый бесконечно последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13-го и 14-го членов равна 15, т.е. 8 и 8=16, 16=1+6=7. Оказывается, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего, весь порядок цифр повторяется. Получив этот период, Михайлов выдвинул интересное предположение - не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? опубликовано

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ на НАШ youtube канал Эконет.ру, что позволяет смотреть онлайн, скачать с ютуб бесплатно видео об оздоровлении, омоложении человека. Любовь к окружающим и к себе, как чувство высоких вибраций - важный фактор оздоровления - сайт

Фибоначчи Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, Пиза, около 1170 -- около 1250) -- это первый крупный математик средневековой Европы. Более известен под прозвищем Фибонамччи (Fibonacci), что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился» (Figlio Buono Nato Ci).

О бытие Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился предположительно в 1170 г

Леонардо Фибоначчи был знаменитым итальянским математиком, он славился своим умением делать расчеты. Однажды его осенило и он открыл простую последовательность чисел, соотношения между которыми описывали естественные пропорции всех тел вселенной!

Леонардо Фибоначчи был выдающимся математиком средневековья. Плоды его математических трудов применяются во многих науках, искусстве и повседневной жизни по сей день.

Заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел Фибоначчи. Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи опубликовал этот ряд чисел в книге «Liber Abaci» (сделал он это для демонстрации размножения популяции кроликов).

Эллиотт писал: "Закон пpиpоды включает в pассмотpение важнейший элемент- ритмичность. Закон пpиpоды - это не некая система, не метод игры на рынке, а явление, хаpактеpное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его применение в пpогнозиpовании революционно."

Этот шанс предсказать движения цен побуждает легионы аналитиков трудиться денно и нощно. Мы сосредоточимся на способности делать предсказания и попытаемся выяснить, возможно это или нет. Вводя свой подход, Эллиотт был очень конкретен. Он писал: "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, -и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи".

Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:

Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Так отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618. Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.

Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и для порождения золотого сечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда. Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затем вправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа.

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. "синие" числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 и (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно, «исповедуют» коллективные спины элементарных частиц и атомов химических элементов.

Представим эти числа как последовательность рычажных весов

К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.

Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.

Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 1,618, а с к b 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.

Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.

Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.

Ряд Фибоначчи - это не только математическая загадка, мы встречаемся с ним каждый день в повседневной жизни:

И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.

Раковина в форме спирали - форма раковины заинтересовала Архимеда и он выяснил, что увеличение длины завитков раковины - это постоянная величина и равна она 1,618.

Алое многолистный.

Брокколи романеско.

Подсолнечник: Семена в подсолнухе, располагаются так же в виде спирали.

Сосновая шишка.

Рост растений тоже происходит в соответствии с числовым рядом Фибоначчи - от ствола отходит ветка, на которой появляется лист, затем происходит длинный выброс и снова появляется листок, но он уже короче предыдущего. Затем опять выброс, но и он короче предыдущего. В этой картине, первый выброс равен 100%, второй 62%, а третий 38%(уровни Фибоначчи, используемые в торговле) и т.д. С длиной лепестков все выглядит точно так же.

Ящерица - если поделить ящерицу на хвост и тело, то соотношение их будет 0,62 к 0,38.

Пирамиды - длина ребра пирамиды равна 783.3 футам, а высота пирамиды равна 484.4 футам. Соотношение длины ребра/высота пирамиды составляет 1,618.

Как видно, числовой ряд Фибоначчи широко представлен в нашей жизни: в строении живых существ, сооружений, с его помощью даже описывается устройство Галактик. Все это свидетельствует об универсальности математической загадки числового ряда Фибоначчи.

И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.

Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама последовательность далека от совершенства, как и всё в этом мире.

Есть предположение, что последовательность Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотое сечение логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любой последовательности достаточно знать три её члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

Каждый член золотой логарифмической последовательности явлется степенью Золотой Пропорции (z). Часть ряда выглядит примерно так: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618, тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост в последовательности обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.

И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:

От куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?

Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...

Прикладное значение ряда Фибоначчи и Золотого Сечения заслуживает отдельного сайта. Сейчас лишь скажу, что, например, элементы ряда Фибоначчи применяются для вычисления скользящих средних (не говоря уже о росте популяции кроликов), и шедевры мирового искусства содержат в себе Золотое Сечение.

А пока, помните, что Фибоначчи -- легендарная личность в математике, экономике и финансах; он обнародовал Арабские числа и представил магический ряд чисел.

ряд число фибоначчи

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью